连续系统的情况分析与优化

由式，其中st表示取驻值。对于任意保守系统，固有频率的变形式可表为

其中：Vmax和T0均依赖于广义位移的振幅函数，对于不同的系统，有不同的表达式。

李兹法（也称瑞利-李兹法）的特点：可求解前几阶固有频率与振型；所求固有频率为精

确解的上限。李兹法的基本思想和步骤如下。

（1）取n 个线性无关的位移函数φi（x）（i=1，2，…，n），它们均满足位移边界条件，令

其中｛a｝为任意的n 维常矢量。

李兹法的基本思想是在集合式（5-38）中求瑞利商的驻值，以代替在全体可能位移φi（x）（i=1，2，…，n）中求驻值。

（2）计算式（5-37）的分子和分母，即式和式T0=，并写为

其中和为n×n 对称、正定矩阵，它们的元素列于表5-1。(www.xing528.com)

表5-1 几种一维振动系统的动能和势能矩阵元素

（3）以式（5-39）、式（5-40）分别代入式（5-37）后得到

由于矢量｛a｝的诸分量均可独立变更，由上式可以得到代数特征值方程

（4）计算式（5-41）n 个实的、非负的特征值ω2与相应的特征矢量｛a｝，特征矢量满足正交归一化条件。

（5）计算固有振型

李兹法的准确程度，依赖于所选基函数构成的函数空间中是否存在良好的近似固有振型，并不是依赖于个别基函数是否与固有振型接近。因而，选择基函数可以稍为随便一些，这是李兹法比瑞利法优越的地方。

在工程上应用李兹法时所取基函数的项数孢是不多的，以致只有少数几个低阶固有频率的近似值有实用意义，随着阶数的增加，近似值的误差将显著增加。因固有频率是瑞利商的逗留值，在逗留值邻近，瑞利商对自变函数的变化很不敏感。

应用李兹法的主要目的是计算系统的前一两阶固有频率，所得基本频率的近似值肯定比瑞利法得到的好，因瑞利法是李兹法当基函数仅取一项时的特殊情形。