弦自由振动方程的解优化

如给出系统的边界条件

和初始条件

那么式（4-7）的解可表示成两种形式，一种是波动解，另一种是振动解。前者将弦的运动表示为

即把弦的运动看成是由两个相同形式的反向行进波的叠加；而后者则将弦的运动表示成各横向同步运动的叠加，各点的振幅在空间按特定的模式分布。这两种解从不同的角度描述了弦的运动，各有其特点。波动解能形象直观地描述波动过程，给出任何时刻清晰的波形，但求解比较复杂；而振动解揭示了弦的运动由无穷多个简谐运动叠加而成。对特定的动力分析过程，选择什么形式的解要视实际问题的需要来决定。这既取决于激励源的性质，又

取决于所考虑物体的相对尺寸，同时还与所关心的问题等因素有关。一般情况下，直接进行振动分析更为简单可行，下面就寻求式（4-7）的振动解。

根据以前有限自由度系统的分析，各质点做相同频率和相位的运动，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，即系统具有一定的、与时间无关的振型，连续系统也同样具有这种的特性。观察弦的自由振动可发现，弦的运动呈现同步振动，即在运动中弦的各点同时达到最大幅值，又同时通过静平衡位置，而整个弦的振动形态不随时间而改变。用数学语言来说，描述弦运动的函数y（x，t）可分解为空间函数与时间函数的乘积，即

式中：Y（x）为弦的振型函数，仅与x 有关；T（t）表示弦的振动方式，仅为t的函数。

将式（4-11）代入运动方程，得

式（4-12）中两个变量已经分离，故称为分离变量波。经过分离变量，偏微分方程可转变为常微分方程。既然上式左边与t无关，而右边又与x 无关，则两边必须都等于同一个常数。设此常数为-ω2，便得到两个我们熟悉的二阶常微分方程式

式（4-12）中只有把常数设为负值才可能得到满足端点条件的非零解，同时得到和单自由度系统形式相同的式（4-13a）的简谐振动方程。显然，ω 即为系统的固有频率。式（4-13a）和式（4-13b）的解分别为

式（4-15）的振型函数描绘了弦以固有频率叫作简谐振动时的振动形态，即主振型。将式（4-14）和式（4-15）代入式（4-11），得

为了求得固有频率和振型函数，必须利用弦的两个边界条件y（0，t）=y（l，t）=0，因此(www.xing528.com)

式中：c3=0显然不是振动解，故导致

式（4-17）为弦振动的特征方程，即频率方程，因其为超越方程，故可求得无穷多阶固有频率

从式（4-18）可见，两端固定的弦的横向自由振动除了基频（最低频率ω1）振动外，还可以包含频率为基频整数倍的振动，这种倍频振动也称谐波振动。在音乐上，正是这种频率之间的整数倍关系，使谐波与基波组成各种悦耳的谐音结构。像提琴、钢琴、吉他、二胡等乐器都是利用弦的振动作为声源。弦的振动中基波起主导作用，各高阶谐波的出现取决于激励条件。出色的演奏家能够激发出合适的谐波，产生美妙动听的声音。另外，由式（4-18）可推断，调整弦支点间的跨度或弦的张力，可以校正弦的基本音调。

对应于上述无穷多阶固有频率，有无限多阶主振动。

对应的主振型为

可见主振型均为三角函数，第一阶主振型有一个正弦半波，第二阶主振型有两个正弦半波，弦的中点始终不动，即为节点，第n 阶振型将有n 个正弦半波，有n-1个节点。弦的自由振动可以表示为各阶主振动的叠加，即有

式中：An，Bn由振动的初始条件确定。

将初始条件式（4-9）代入上式，得

三角函数具有正交性，即

由此可得

以上的一些特性显然是和多自由度系统一致的。只不过离散系统的主振型是以各质点之间的振幅比表示的，当质点数趋于无穷时，各质点振幅就成为x 的连续函数，即为连续系统中的振型函数Y（x）。离散系统所描绘的主振型只是近似解，而Y（x）则表达了真实的振型，它们之间为有限与无限的辩证关系。