多自由度系统振动分析

如前所述，两自由度系统自由振动特性与多自由度系统自由振动特性的分析，不存在本质的区别，两自由度系统自由振动的特性基本上都可延伸推广到多自由度系统的情况。但随着系统自由度数目的增加，计算工作大为复杂化，因此必须采用与之相适应的矩阵数学工具，矩阵表示式可以简洁、鲜明地显示出振动系统的基本特征，为解题提供系统而规则的算法。

多自由度系统的刚度式运动方程为

式中：［M］，［K］分别为n 阶对称的质量矩阵和刚度矩阵；分别为n 阶加速度和位移矢量。

多自由度系统的柔度式运动方程为

设运动微分方程的特解（即主振动）为

式中：｛A｝为n 阶振幅矢量。

将特解代入运动微分方程，消去时间因子sin（ωt+α）（因对任何时刻皆成立），得到关于振幅（也代表主振型）的齐次线性方程组，即

及

式中：［I］为n 阶单位矩阵。

它们是多自由度系统求固有频率和主振型的基础，这两种形式可以统一起来。

在式（3-92）两边前乘［M］-1，得

定义系统矩阵为

并且令λ=ω2，则主振型的齐次方程组式（3-92）化为

再定义另一形式的系统矩阵为

并且令，则主振型的齐次方程组式（3-93）化为

这样主振型的齐次方程组式（3-95）和式（3-97）就有着相同的形式。

注意到系统的刚度矩阵［K］和柔度矩阵［δ］互为逆矩阵，根据矩阵乘积的求逆公式，可知上述两种系统矩阵之间有着互逆关系，即

还应指出，尽管系统的质量矩阵［M］、刚度矩阵［K］以及柔度矩阵［δ］一般都是对称的，但其系统矩阵［S］和一般已不再是对称矩阵

现在来看系统的固有频率和主振型。鉴于主振型的齐次线性方程组式（3-95）和式（3-97）属于同一形式，故只需讨论其中之一。方程组式（3-95）有非零解的充要条件为

式（3-99）称为系统的频率方程或特征方程。将它展开可得一个关于λ 的n 次代数方程，即

它的n个根λi（i=1，2，…，n）称为系统的特征根，亦称矩阵［S］的特征值。特征值λi与系统固有频率ωi之间有如下关系，即

一般来说，n 次代数方程的n 个根，可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，由于系统的质量矩阵［M］是正定的实对称阵，刚度矩阵是［K］正定的或半正定的实对称阵，故所有特征值都是实数，并且是正数或零。事实上，根据正定和半正定的条件，对任何非零的｛A｝，有

现在对系统的主振型方程组［K］｛A｝=λ［M］｛A｝两边前乘｛A｝T，得

考虑到条件式（3-102），自然就得出上述结论。上述结论也可改述为：正定系统的特征值都是正的，而半正定系统的特征值是正数或零。

将各特征值λi代入式（3-95），可求得各个相应的 ｛A｝i（其中各元素是各个质点振幅的相对数值，而非绝对数值），称为系统的主振型（或固有振型），亦称为矩阵［S］的特征矢量。这样，对于任何一个n 自由度系统，总可以找到n 个固有频率（或特征值）以及相应的n个主振型（或特征矢量）。

若令［B］=［S］-λ［I］，那么系统的特征矢量也可从［B］的伴随矩阵adj［B］得出。事实上，根据逆矩阵的定义

上式两边前乘，得

当λ=λi时，有

将上式与式（3-95）比较可知，adj［B］i中各列与｛A｝i只相差一个常数乘子。

另外，系统的主振型矢量（特征矢量）｛A｝i或｛φ｝i也可从［B］i的分块矩阵求得。将λ=λi代入式（3-95），有

［B］i｛A｝i=｛0｝

或者

将式（3-104）写成分块矩阵形式，即

式中：仅有一个元素，就是矩阵［B］i第一行第一列的元素；为（n-1）阶行矢量；为（n-1）阶列矢量；为（n-1）阶可逆矩阵（读者自行证明）；为第i阶主振型的后（n-1）个元素组成的列矢量。(www.xing528.com)

由式（3-105），得

从而第i阶主振型为

式（3-105）的第一个方程与后边的n-1个方程不独立，可用来校核式（3-106）所求主振型的正确性。

在线性代数中，矩阵特征值问题通常表示为以下的标准形式，即

式中：［A］为实数方阵；λ为方阵［A］的特征值；｛X｝为方阵［A］与λ 对应的非零特征矢量。

若［A］为实对称矩阵，则其特征矢量正交。

很显然，方程组式（3-95）及式（3-97）都具有式（3-108）的形式，即多自由度系统的固有频率和主振型问题就是实方阵的特征值问题。不过前面提到，无论是［S］还是，一般都不是对称矩阵。可进行如下的坐标变换，将它们化为对称矩阵。

由于质量矩阵［M］通常是正定的实对称矩阵，它总可分解为

式中：［U］为非奇异的上三角矩阵。

将式（3-109）代入式（3-97），得

上式两边前乘［U］，得

引入新的系统矩阵［S］R=［U］［δ］［U］T，再对｛A｝进行变换｛X｝=［U］｛A｝，于是式（3-110）可写为

下面来证明新的系统矩阵［S］R是对称矩阵，并且与原系统矩阵有相同的特征值。

所以［S］R是对称矩阵。又因为

即系统矩阵［S］R又可以看成是系统矩阵经变换式（3-113）得来的。因为

并注意到［U］是非奇异矩阵，故［S］R与有相同的特征值。不过，此时的特征矢量 ｛X｝i已不同于特征矢量｛A｝i，但可通过逆变换

求出相应的｛A｝i。

再来看方程组式（3-95）的变换。对式（3-109）两边求逆，有

将式（3-115）代入式（3-95），得

上式两边前乘［U］，得

即

或

再引入另一个新的系统矩阵［S］K=（［U］-1）T［K］［U］-1，同时对 ｛A｝进行变换｛X｝=［U］｛A｝，于是式（3-116）可写为

和前面的讨论类似，可证明新的系统矩阵［S］K已是对称矩阵。且

所以，系统矩阵［S］K和系统矩阵［S］有着相同的特征值，它们的特征矢量间的变换仍为式（3-114）。

当质量矩阵［M］是对角矩阵时，上述变换将大为简化，此时，有

式中：也是一对角阵，其元素分别为质量矩阵［M］中对应元素的算术平方根；中的元素分别是中对应元素的倒数。因此，有

矩阵特征值问题属于线性代数的一个专题，已经发展了许多经典的精确算法来求解各种形式的矩阵特征值问题，本章中限于篇幅，将不展开叙述。关于此问题的详细论述，请读者参阅有关的专著和手册。

与两自由度系统的情况类似，多自由度系统自由振动微分方程式（3-89）的通解是式（3-91）n 个主振动（n 个线性无关的特解）的组合，即

式中：固有频率ω1，ω2，…，ωn和主振型｛φ｝1，｛φ｝2，…，｛φ｝n由系统的物理性质（刚度和质量特性）决定，而振幅A11，A12…，A1n及相位角α1，α2，…，αn则由自由振动的初始条件（n 个初位移、n 个初速度）确定。

同样地，在一般初始条件下，多自由度系统的自由振动已不再是简谐振动，而是不同频率的n 个简谐振动的合成。只有初始条件与某阶振型成比例时，即

结构才按第j主振型以固有频率ωj做简谐振动（其他n-1个简谐振动分量皆为零）。