一般情况下两自由度系统振动微分方程组如式(3-63)所示,每个方程式中往往都有耦合项。这种坐标x1和x2之间有耦合的情况称为静力耦合或弹性耦合。
在例9中,若以弹簧支承处的位移x1与x2为独立坐标来建立振动微分方程,见图3-13,x1、x2与x、θ关系如下
x1=x+l1θ,x2=x-l2θ
转换后得
将上式代入刚体平面运动微分方程
有
整理得
上面的方程中不仅坐标x1和x2有耦合,而且加速度和
的项也有耦合,这种加速度之间有耦合的情况,称为动力耦合或惯性耦合。式(3-76)同时具有静力耦合和动力耦合,属于耦合的一般情况。如果选取的坐标恰好可使微分方程组的耦合项全等于零,既无静力耦合,又无动力耦合,就相当于两个单自由度系统,这时的坐标就称为主坐标。选取不同的独立坐标所建立的运动微分方程形式虽然不同,但坐标的转换并不影响固有频率的计算结果。如果一开始就用主坐标建立微分方程,那么固有频率的计算就变得很简单了,但问题是,一开始不容易直接找到这种主坐标。
在例9中,是以x 与θ为两个独立坐标。如果k1l1=k2l2,则引入的符号b=c=0,则式(3-63)中的耦合项均为零,简化成
相当于两个单自由度系统各自独立地做不同固有频率的主振动(www.xing528.com)
这时所选的坐标x 与θ就是主坐标。
【例10】用刚度影响系数法,建立如图3-15所示的两自由度系统的运动微分方程。
图3-15
解:首先用力使质量块m1,从静平衡位置移动一单位位移,同时用力制住m2不动。这时对m1沿x1正方向施加的是弹簧k1和k2的弹力之和。因位移为1,因此弹力之和为k1+k2,即k11=k1+k2,这时在质量块m2上施加的力的大小等于k2,方向与x1位移方向相反,即k21=-k2。再用力使质量块m2离开静平衡位置单位位移,同时用力制住m1不动,得k22=k2+k3,k12=-k2。将所得的刚度影响系数代入用刚度系数建立的振动微分方程组,有
移项整理得
上式即为式(3-62)。此式可用矩阵形式表示
或
式中:x、分别是系统位移、加速度列阵,M、K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵。从刚度矩阵可知,刚度影响系数kij为刚度矩阵K 中的一个元素。
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