对于无阻尼自由振动系统,可以根据多自由度系统作用力方程的一般形式变为
假设方程的解
这里:为与各广义坐标对应的与时间无关的向量,ω 为固有频率,φ 为初相位。
将式(3-20)代入式(3-19)得
与线性代数中的特征值问题相对照,我们把式(3-21)称为广义特征值问题。要使式(3-21)有解,必须使其系数行列式为零,即
上式称为特征方程(Characteristic Equation)。由此可求出n 个非负的特征根1,2,…,n),将每个特征根代入式(3-21)即可得到相应的非零向量显然有
上式为n 个为未知数的齐次代数方程。对于一个特定的,式
(3-23)只能确定出与对应的各个分量的比例。
由式(3-22)和式(3-23)看出,ωi和只决定于系统本身的物理特性,而与外部激励和初始条件无关,这表明它们都是系统的固有属性。ωi称为系统的固有频率,按从小到大的顺序排列,即)称为系统的固有振型(Natural Mode Shape)或主振型(Principal Mode Shape)(或称特征向量、固有向量、模态向量等)。
式(3-20)表明振动系统各个质量按相同的频率和相位角做简谐运动,这种运动称为固有振动(Natural Mode of Vibration)或主振动(Principal Mode of Vibration)。系统在主振动中,各质点同时达到平衡位置或最大位移,而在整个振动过程中,各质点位移的比值将始终保持不变,也就是说,在主振动中,系统振动的形式保持不变,这就是振型的物理意义。每一个主振动称为一个模态,ωi和对应的组成第i阶模态的参数。
由式(3-21)和式(3-22)可知,固有振型具有一个未确定的常数因子,通常假设振型的某个元素为1,则其他元素就可以表示为此元素的倍数,这种方法或过程称为振型的基准化(Benchmark of the Vibration Mode),一般假设振型的第一个元素为1。
固有振型除了通过广义特征值问题式(3-23)求解以外,还可以通过求伴随矩阵的方法求解。定义特征矩阵(Eigenmatrix)
利用数学的概念知
这里:为逆矩阵,为伴随矩阵,为单位矩阵。
由式(3-22)知,因此
比较式(3-23)和式(3-26)知,伴随矩阵的每一个非零的列都与成比例,则构成固有振型。(www.xing528.com)
对于位移形式的无阻尼自由振动方程
引入记号
称为动力矩阵(Dynamic Matrix)。将式(3-20)代入方程(3-27)得到
特征方程为
上式有n 个正实根,系统的固有频率为
与λi对应的振型可通过式(3-29)求得。类似地,固有振型也可以通过求的伴随矩阵得到。
【例8】跨度为l的简支梁,弯曲刚度为EI,梁上有三个相同的集中质量,如图3-9所示,忽略梁质量对系统固有频率的影响。求固有频率和固有振型,并画出振型图。
图3-9 梁的振动
解:取三个集中质量的横向位移y1、y2和y3为广义坐标。
动能,则质量阵,现求柔度影响系数,注意到Rij=Rji,且由所给条件的对称性,有R11=R33,R12=R32。设在m1处作用单位力1,由材料力学公式可以求得
因此,柔度矩阵为,位移形式的振动方程为
将质量矩阵[M]和柔度矩阵[R]代入特征方程式(3-30)得
展开上式可求出三个固有频率为;将分别代入式(3-29),并设,即可求出三个固有振型。三个振型对应的梁的挠度曲线如图3-10所示。
图3-10 振型图
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