影响系数方法的优化策略

式（3-6）中质量矩阵的元素mij和刚度矩阵的元素kij分别称为质量影响系数及刚度影响系数，它们都有着明确的物理意义。

先假设外力是以准静态方式施加于系统的，此时没有加速度，即，式（3-5）成为

假定作用于系统的外力使系统的第j 个质量在其坐标方向上产生单位位移，而在其他质量均不产生位移，即产生如下的位移矢量

其中，上标T 表示矢量或矩阵的转置，将上式代入式（3-7），得

可见所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K 的第j列，其中kij（i=1，2，…，n）是在第i个质量沿其坐标方向上施加的力。由此得到结论：刚度影响系数kij是使系统的第j个质量沿其坐标方向上产生单位位移而其他质量保持不动时沿第i个质量坐标方向上施加的力。

现在假设系统受到外力作用的瞬间，只产生加速度而不产生任何位移，即x=0，此时式（3-5）成为

经类似上述的讨论容易得知，使系统第j个质量在其坐标方向上产生单位加速度，而在其他各坐标上都不产生加速度所需施加的一组外力，正是质量矩阵M 的第j列。因此，质量影响系数mij是使系统仅在第j个质量沿其坐标方向上产生单位加速度而相应于第i个质量沿其坐标方向上所需施加的力。

根据它们的物理意义可以直接写出矩阵M 及K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。下面通过几个例子来说明。

【例4】写出如图3-4（a）所示的三自由度系统的刚度矩阵与质量矩阵，并写出系统的运动微分方程。

图3-4

解：建立如图3-4（a）所示的坐标系，记位移矢量。

先只考虑位移（无加速度），令，由图3-4（b）的受力分析得知，为维持这种位移状态，在各个质量沿坐标上施加的力应当是

同样地，令，由图3-4（c）得到

最后令，由图3-4（d）得到

因此刚度矩阵为

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现在只考虑加速度（无位移），令加速度矢量为。由受力分析得知，为维持加速度状态，在各个质量沿其坐标上施加的力，应当是

令，得到

最后，令，得到

所以质量矩阵为

系统的各个质量上都没有外力作用，所以运动微分方程为

【例5】图3-5（a）是用铰链B 连接而由铰链A 悬挂的两个刚体组成的双混合摆示意图。两个刚体的质量为m1与m2，质心位于C1及C2点，它们绕通过自身质心的z轴的转动惯量为I1与I2，以微小转角θ1、θ2作为坐标，写出系统在x-y 平面内摆动的作用力方程。

图3-5

解：先求质量影响系数。令，由图3-5（b）的受力分析，分别考虑对B 点和A 点的动态平衡条件，得到

令，由图3-5（c）的受力分析，得

再求刚度影响系数。令θ1=1，θ2=0，由图3-5（d）的受力分析，得

令θ1=0，θ2=1，由图3-5（e）的受力分析，得

于是系统微摆动的作用力方程为

以上两个例子均表明，mij=mji，kij=kji。因此多自由度系统的质量矩阵和刚度矩阵均具有对称性，这可以根据功的互等定理来证明。