简谐振动：特征与表现

2.2.3.1 简谐振动的运动特征

由简谐振动的位移（2-14）可得速度和加速度

由此可见，简谐振动的位移、速度和加速度振动频率相同，速度和加速度的相位分别超前位移π/2和π，速度和加速度的幅值分别是位移幅值的ωn和倍。

2.2.3.2 简谐振动的矢量表示

简谐振动可以用旋转的矢量在坐标上的投影来表示。如图2-24所示，矢量以等角速度逆时针旋转，其模为X；矢量起始位置与水平轴夹角为φ，任意时刻与水平轴夹角为ωnt+φ。此时，旋转矢量在坐标上的投影为简谐函数

图2-24 简谐振动的矢量表示

与简谐振动方程式（2-14）比较可见，旋转矢量的模正是简谐振动的振幅X，旋转矢量的角速度是简谐振动的圆频率，旋转矢量与水平轴的夹角是简谐振动的相位角ωnt+φ；t=0时旋转矢量与水平轴的夹角为简谐振动的初相位角φ。可见，二者具有一一对应的关系，所以旋转矢量可用来表述简谐振动。

2.2.3.3 简谐振动的复数表示

如图2-25所示为一复矢量，其模为X，与水平实轴夹角即辐角为θ。矢量在实轴与虚轴上的投影分别为X cosθ与X sinθ，其复数表达式为

图2-25

可见，复矢量的虚部和实部均为简谐函数，可以用来描述简谐振动。复矢量的模X 代表了简谐振动的振幅，幅角θ与简谐振动的相位角ωnt+φ 相对应，复矢量在复平面的实轴或虚轴上的投影分别代表余弦或正弦简谐振动。

根据欧拉公式

将幅角θ=ωnt+φ 代入，变为

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式中：称为复振幅。

简谐振动若采用复数指数的表达形式，通常会给分析运算带来极大的方便。因此，在振动力学的理论分析中，经常采取复数表示法。

2.2.3.4 两个同方向同频率简谐振动的合成

设有两个同频率的简谐振动

合振动

画出矢量图可得

其中

2.2.3.5 两个同方向不同频率简谐振动的合成

设有两个不同频率的简谐振动

合振动

由矢量图可得到合振动的振幅

需要说明的是，两个不同频率简谐振动的合振动不再是简谐振动，而是一种复杂运动。

两个简谐振动的叠加将在多自由度振动系统中用到。