振动力学：从历史走向现实

人类对振动现象的了解和利用有着漫长悠久的历史，远古时期的人们已有利用振动发声的各种乐器。古希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras）于公元前6世纪真正开始了与振动、相关问题的研究，他通过实验观测得到弦线振动发出声音与弦线的长度、直径及张力的关系。我国战国时期成书的《庄子》就已明确记载了共振现象。现代实验物理科学的奠基人伽利略对振动问题进行了开创性的研究，他发现了单摆的等时性并利用他的自由落体公式计算单摆周期。惠更斯在17世纪发现了两类非线性现象：一类是单摆大幅度摆动对等时性的偏离，另一类是两只频率接近时钟的同步化。17世纪的梅森在实验基础上系统地总结了弦线振动的频率特性。胡克在1678年发表的弹性定律和牛顿在1687年发表的运动定律分别为振动力学发展奠定了物性和物理的基础。

在18世纪，振动力学的主要成就是线性振动理论的发展和成熟。欧拉做出了3个方面的贡献：1728年建立并求解了单摆在有阻尼介质中振动的微分方程；1739年研究了无阻尼简谐强迫振动，从理论上解释了共振现象；1747年对九个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐主振动的叠加。1762年，拉格朗日建立了离散系统振动的一般理论，标志着离散系统线性振动理论发展成熟。对连续系统，最早研究的是弦线的振动。1746年，达朗贝尔用偏微分方程描述弦线振动，得到了波动方程，并求出了行波解。1753年，伯努利用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解。1759年，拉格朗日从驻波解推得行波解，但严格的数学证明直到1811年傅立叶提出函数的级数展开理论才完成。其他连续系统的振动问题也相继得到研究，欧拉和伯努利分别于1744年和1751年研究了梁的横向振动，导出了自由、简支和固定端梁的频率方程和振型函数；1802年奇拉尼研究了杆的轴向和扭转振动。

19世纪后期以来，随着航海运输和动力机械技术的发展，振动力学的工程应用得到重视和发展。对实际工程中形状不规则的复杂结构的振动，难以精确求解，于是许多近似计算方法陆续被提出。1873年，瑞利基于系统的动能和势能相互转化的能量原理，给出了求解系统基频的近似方法；后来，里兹发展了瑞利法，使之能够求解几个低阶固有频率的近似值，同时里兹法也成为一种缩减自由度的典型方法；再后来迦辽金于1915年将里兹法进一步发展推广，得到了迦辽金法，成为解微分方程边值问题的一种重要方法。1894年，邓克利分析旋转轴振动时，提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的简单实用方法，瑞利法和里兹法得到的基频近似值偏大，而邓克利法得到的基频近似值则偏小。1904年，斯特多拉计算轴杆振动频率时提出了一种逐步近似的方法，成为矩阵迭代法的雏形。1902年，法姆计算船舶主轴扭振时提出离散化的思想，以后发展为确定轴系和梁的频率的实用方法。汤姆逊在1950年将这种方法发展为矩阵形式而最终形成了著名的传递矩阵法。

非线性振动的研究最早始于19世纪后期。非线性振动理论的奠基人是法国的庞加莱，他开辟了振动问题研究的一个全新方向，就是定性理论。在1881年至1886年发表的一系列论文中，庞加莱讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在性判据，定义了奇点和极限环的指数，此外，他还研究了分叉问题。定性理论的一个重要而特殊的方面是稳定性理论，最早的结果是拉格朗日在1788年建立的保守系统平衡位置的稳定性判据。开尔文和泰特在1879年考查了陀螺力和耗散力对保守系统稳定性的影响，其结论后来由切塔耶夫进行了严格证明。1892年，李雅普洛夫给出了稳定性的严格定义，并提出了研究稳定性问题的直接方法。

在定性理论发展的同时，定量求解非线性振动的近似解析方法也得到了发展。1830年，泊松研究单摆振动时提出了摄动法的思想；1883年，林斯泰德解决了摄动法的久期项问题；1918年，杜芬在研究硬弹簧的强迫振动时采用了谐波平衡和逐次迭代的方法；1920年，范德波尔研究电子管的非线性振荡时提出了慢变系数法的基本思想，1934年，克雷洛夫和博格留博夫将其发展为适用于一般弱非线性系统的平均法，1947年，他们又提出一种可求任意阶近似解的渐进法，1955年，米特罗波尔斯基将这种方法推广到非定常系统，最终形成了KBM 法。斯特罗克在1957年研究电等离子体非线性效应时，用两个不同的尺度描述系统的解，从而提出了多尺度法。

非线性振动的研究使人们对振动的机制有了新的认识：除自由振动与强迫振动之外，还广泛存在另一类振动，即自激振动。1926年，范德波尔研究了三极电子管回路的自激振动；1932年，邓哈托利用自激振动分析输电线的振动；1933年，贝克的工作表明有能源输入时干摩擦会导致自激振动。(www.xing528.com)

非线性振动的研究还有助于人们认识一种新的运动形式，即混沌振动。庞加莱在19世纪末已经认识到不可积系统存在复杂的运动形式，运动对初始条件具有敏感依赖性，这种运动称为混沌。1947年，卡特赖特和李特伍德对受迫的范德波尔振子以及莱文森对一类更简化的模型分析表明，两个不同的稳态运动可能具有任意长时间的相同暂态过程，这表明运动具有不可预测性。为解释他们的研究结果，斯梅尔提出了马蹄映射的概念。1973年，日本科学家上田和林千博在研究杜芬方程时得到一种混乱的、貌似随机且对初始条件极其敏感的数值解。

从20世纪50年代开始，航空航天工程的发展对振动力学提出了更高要求和挑战，确定性的力学模型已无法处理包含随机因素的大量工程问题，如大气紊流引起的飞机颤振，喷气噪声导致飞行器表面结构的声疲劳、火箭运载工具有效负载的可靠性等。工程的需要促使人们使用概率统计的方法研究承受非确定性荷载的机械和结构系统的响应、稳定性、可靠性等，形成了随机振动这一振动力学的重要组成部分。在工程问题中，随机振动理论要得到应用就必须解决振动信号的采集和处理问题。20世纪70年代以来，由于计算机的飞速发展以及快速傅立叶变换（FFT）算法的出现，随机振动理论的应用越来越广泛。随机振动的理论研究也不断地深入，非线性随机振动的理论研究尤其受到重视。

上述历史的回溯表明，振动力学在其发展过程中，逐渐由基础科学转化为基础科学和计算科学的结合。实际工程问题的需求为振动力学提出了研究课题，测试手段和计算技术的进步又使振动力学逐步发展成熟，学科的多方位、多层次交叉也不断为振动力学的发展注入活力，振动力学得以形成一门以力学和物理概念为基础，以数学方法和测试技术为工具，以解决工程中的振动问题为主要目标的力学分支。

机械、车辆、舰船、飞行器、航天器、建筑等工程系统都经常受到各种激励的作用，它们不可避免地会产生各种各样的振动。现代工程技术对解决振动问题提出了更高的要求，因此振动力学在工程实际中有着广泛的应用：在机械、动力工程中，振动部件与整机的强度和刚度问题，联轴节和回转轴系的扭振分析，大型机械设备的故障诊断，大型机器与精密仪器设备的减振隔振等；在交通运输、航空航天航海工程中，车辆等载运工具的舒适性、操纵性、稳定性、可靠性问题，输液管道、储液容器的振动及动力稳定性问题，波浪作用下舰船的模态和强度分析，飞行器的结构振动与声疲劳分析等；在电子电信和轻工业工程中，通信器材的频率特性分析，音响器件的振动分析等；在土建、地质工程中，建筑结构的模态分析，地震、强风、波浪、冲击波等引起结构物的动力响应，矿床探测、爆破技术的研究等；在生物医学工程中，脑电波、心电波、脉搏波动等信号的分析处理。

尽管上述各种工程应用领域中的振动问题千差万别，但在振动力学中的解决途径往往具有共性：首先要根据具体工程振动问题的特点和要求，抓住主要的影响因素，提炼出合理的力学模型；其次应用力学和数学知识建立该力学模型所对应的数学模型，通常是微分方程组和代数方程组；然后对建立的数学模型进行分析计算，得出精确、近似或数值解；最后将计算结果与实际的工程振动现象或实验研究的测试结果进行比较，考查所得理论结果能否正确解决原先的实际工程振动问题，如果不能解决，而数学模型及求解过程没有问题，则需重新修改力学模型，重复上述过程。