热传导的影响因素及圆筒壁传导问题研究

一、热传导机理简介

热传导是起因于物体内部分子、原子和电子的微观运动的一种传热方式。温度不同时，这些微观粒子的热运动激烈程度不同。因此，在不同物体之间或同一物体内部存在温度差时，就会通过这些微观粒子的振动、位移和相互碰撞而发生能量的传递，称之为热传导，又称导热。不同相态的物质内部导热的机理不尽相同。气体内部的导热主要是其分子做不规则热运动时相互碰撞的结果；非导电固体中，分子在其晶格结构的平衡位置附近振动，将能量传递给相邻分子，实现导热；而金属固体的导热是凭借自由电子在晶格结构之间的运动完成的；关于液体的导热机理，一种观点认为它类似于气体，更多的研究者认为它接近于非导电固体的导热机理。总的来说，关于导热过程的微观机理，目前人们的认识还不完全清楚。

二、热传导速率的表达——傅立叶定律

物体内部存在温差时，在导热机理的作用下发生导热过程。针对某一微元传热面，傅立叶定律给出了导热速率的表达式：

式中 Q——导热速率，w；

A——导热面积，m2；

λ——热导率，w/（m·℃）。

式（4-6）表明，导热速率与微元所在处的温度梯度成正比，其中负号的含义是传热方向与温度梯度的方向相反。傅立叶定律的表达式还可以写成导热热通量的形式：

三、热导率

由式（4-7）可见，热导率（thermal conductivity）是单位温度梯度下的导热热通量，因而它代表物质的导热能力。作为物质的基本物理性质之一，热导率的数值与物质的结构、组成、温度、压强等许多因素有关，可用实验的方法测得。工程上常用材料的热导率可在相关的工程设计手册中查到。一般来说，金属的热导率最大，液体的较小，气体的最小。

（一）固体的热导率

图4-4（a）和图4-3（b）分别给出了常见金属固体和非金属固体的热导率随温度的变化情况。金属的热导率与材料的纯度有关，合金材料热导率小于纯金属。各种固体材料的热导率均与温度有关。对绝大多数的均质固体而言，热导率与温度近似呈线性关系，可用下式表示

图4-4 一些固体材料的热导率

式中 λ——固体在温度t℃时的热导率，w/（m·℃）；

λ0——固体在0℃时的热导率，w/（m·℃）；

α——温度系数，1/℃，对大多数金属材料为负值，而对大多数非金属材料则为正值。

在工程计算中，常遇到固体壁面两侧温度不同的情况。此时，可按平均温度确定温度场中材料的热导率。

（二）液体的热导率

金属液体的热导率很大，而非金属液体的热导率较小，但比固体绝热材料大。图4-5给出了一些非金属液体的热导率随温度的变化情况。可以看出，其中水的热导率很大；除水和甘油外，绝大多数液体的热导率随温度升高而略有减小。另外，一般来说，纯液体的热导率比其溶液的热导率大。

图4-5 一些非金属液体的热导率

1-无水甘油；2-蚁酸；3-甲醇；4-乙醇；4-蓖麻油；6-苯胺；7-醋酸；8-丙酮；9-丁酮；10-硝基苯；11-异丙苯；12-苯；13-甲苯；14-二甲苯；15-凡士林油；16-水（用右纵坐标）

（三）气体的热导率

气体的热导率随温度升高而增大。在相当大的压力变化范围内，气体的热导率与压力的关系不是很大，只有在压力大于2×108 Pa或很低时，例如低于2.6×104 Pa，热导率才随压力的升高而增大。气体的热导率很小，对导热不利，但却对保温有利。软木、玻璃棉等材料就是由于其内部空隙中存在气体，所以其平均热导率较小。几种常用气体的热导率如图4-6所示。

图4-6 常用气体的热导率

1-水蒸气；2-氧气；3-二氧化碳；4-空气；4-氮气；6-氢

四、单层平壁的定态热传导

工业炉平壁保温层内的传热过程可视为平壁热传导。

考虑如图4-7所示的平壁，其高度、宽度与厚度b相比都很大，则该壁边缘处的散热可以忽略。假设壁内温度只沿垂直于壁面的方向而变化，即壁内所有垂直于x 轴的平面都是等温面，平壁两侧表面温度保持均匀，分别为t1 和t2，且t1＞t2。若t1 和t2 不随时间而变，则壁内传热过程系一维定态热传导。在该平壁内位置为x 处取一厚度为d x 的薄层，傅立叶定律可以写为

式（4-9）中A 为垂直于x 轴的平壁面积，Q 为与之对应的导热速率。若材料的热导率不随温度而变化（或取t1 和t2 之平均值下的热导率），积分该式

即

式（4-10）又可以写成如下形式

式中Δt=t1-t2，称为导热推动力；R=6/λA，称为导热热阻。

图4-7 平壁热传导

式（4-11）表明，导热速率正比于推动力，反比于热阻，这一规律与电学中的欧姆定律极为相似。另外，导热层厚度越大，导热面积和热导率越小，则导热热阻越大。

【例1】现有一平壁，厚度为400mm，内壁温度为500℃，外壁温度为100℃。试求：（1）通过平壁的导热通量，w/m2；（2）平壁内距内壁150mm 处的温度。已知该温度范围内砖壁的平均导热系数λ=0.6w/（m·℃）。

五、单层圆筒壁的定态热传导

在生产装置中，绝大多数的容器、管道及其他设备外壁都是圆筒壁的。因此，研究通过圆筒壁的热传导问题更具有工程实际意义。

考虑图4-8所示的单层圆筒壁，其长度为l，内半径为r1，外半径为r2，内、外表面的温度分别为t1 和t2，并且t1＞t2。假定壁内温度只沿圆筒壁半径方向变化，且不随时间而变，则壁内传热过程系一维定态热传导，壁内任意一个圆筒面均为等温面。将材料热导率按常数来考虑，在该壁内取一半径为r、厚度为d r 的薄层，其两侧面温差为d t，傅立叶定律可以写成

根据边界条件：r=r1 时，t=t1；r=r2 时，t=t2，对该式积分，可得

即

式（4-12）可用于计算单层圆筒热传导速率。该式可进一步写为推动力与阻力之比的形式

其中b=r2-r1，为圆筒壁的壁厚；A1、A2 分别为圆筒壁的内、外表面积；Am 为A1、A2 的对数平均值，称为圆筒壁的对数平均面积，得

Am 也可以用Am=2πrm l计算，其中

rm 称为圆筒壁的对数平均半径。当（r2/r1）＜2时，通常也采用r2 和r1 的算数平均值表示rm。

若对前面的微分方程进行不定积分，可得圆筒壁内温度分布如下：

可见，壁内各等温面温度沿半径方向按对数规律变化。

图4-8 通过圆筒壁的热传导

需要指出的是，在平壁的一维定态热传导中，通过各等温面的导热速率Q 和导热热通量q是保持不变的；在圆筒壁的一维定态热传导中，通过各等温面的导热速率亦相等，但导热热通量随等温面半径的增大而减小。

六、通过多层壁的定态热传导

在工业生产装置中，设备外面往往包有不止一层保温或隔热材料，与此相关的就是通过多层壁的热传导问题。

（一）多层平壁定态热传导

以图4-9所示的面积为A 的三层平壁为例，各层的壁厚分别为b1、b2 和b3，热导率分别为λ1、λ2 和λ3。假设层与层之间接触良好，即相接触的两表面温度相同。各表面温度分别为t1、t2、t3 和t4，且t1＞t2＞t3＞t4。在定态热传导中，通过各层平壁的导热速率相等，即

Q1=Q2=Q3=Q

由式（4-10）可得(www.xing528.com)

在上式（4-17）中，将各分式的分子相加作为分子，各分式分母相加作为分母，所得新分式值与原各分式相等

式（4-18）可用于计算三层平壁定态热传导速率。该式还可以推广至九层平壁，即

图4-9 三层平壁热传导

（二）多层平圆筒壁定态热传导

对图4-10所示的三层圆筒壁，由式（4-12）出发，按类似于导出式（4-18）的方法可得

同样地，用于计算三层圆筒壁导热速率的式（4-20）也可以推广至n 层圆筒壁

图4-10 通过三层圆筒壁的热传导

从以上的推导过程可以看出，在多层壁的定态热传导过程中，每层壁都有自己的推动力和阻力。通过各层的导热速率相等，它既等于某层的推动力与其阻力之比，也等于各层推动力之和与各层阻力之和的比值。另外，也正是因为各层的导热速率相等，哪层的温差（推动力）越大，哪层的热阻也越大，反之亦然。

【例2】 在外径为140mm 的蒸气管道外包扎保温材料，以减少热损失。蒸气管外壁温度为390℃，保温层外表面温度不高于40℃。保温材料的λ与t的关系为λ=0.1+0.0002t（t的单位为℃，λ的单位为w/（m·℃））。若要求每米管长的热损失Q/L 不大于450w/m，试求保温层的厚度以及保温层中温度分布。

【解】 此题为圆筒壁热传导问题。已知：r2=0.07m，t2=390℃，t3=40℃。

保温层的导热系数按平均温度计算，即

得

r3=0.141m

故保温层厚度为

b=r3-r2=0.141-0.07=0.071m=71m

解上式并整理得

t= -501ln r-942

计算结果表明，即使导热系数为常数，圆筒壁内的温度分布也不是直线而是曲线。