流体流动的基本方程介绍

在化工生产中，普遍会遇到流体沿管道以一定流速流动的情况。本节着重讨论管内流体流动的基本方程及其有关问题。

一、流量与流速

（一）流量

单位时间内流经管道任一截面的流体量，称为流量。流量有两种计量方法。

（1）体积流量。单位时间内流经管道任一截面的流体的体积，称为体积流量，常以符号V 表示，其单位为m3/s或m3/h。

（2）质量流量。单位时间内流经管道任一截面的流体的体积，称为体积流量，常以符号W 表示，其单位为kg/s或kg/h。体积流量与质量流量之间的关系为

（二）流速

（1）平均流速。

流速是指流体质点在单位时间内在流动方向上所流经的距离。实验表明，流体在管道截面上各点的流速是不同的，在管道中心处流速最大，愈靠近管壁流速愈小，在紧靠管壁处，由于流体质点黏附于管壁上，其速度等于零。速度在管截面上的分布规律与很多因素有关，是一个复杂的问题。工程上为简便计，引入流体在管道中的平均流速的概念，简称流速，以u 表示，单位为m/s。设管道的截面积为A（m2），若已知流体的体积流量V（m3/s），则流体的流速可用下式求得

故流速亦即单位截面积管道上流过的流体的体积流量。质量流量与流速的关系为

气体的体积流量随温度、压力的改变而变化，所以表示气体的体积流量时，应指明其相应温度和压力。

（2）质量流速。

单位截面积管道流过的流体的质量流量，称为质量流速，以符号G 表示，其单位为kg/（m2·s）。

质量流速与质量流量及流速之间的关系为

由于气体的体积流量随压力和温度的变化而改变，其流速亦将相应地变化，但质量流速是不变的。在这种情况下，采用质量流速计算较为简便。

二、稳定流动和不稳定流动

（一）稳定流动

流体在流动时，任一截面处的流速、流量和压力等与流动有关的物理量都不随时间而变化，这种流动称为稳定流动。如图2-6所示的水槽，因上面不断加水，又有溢流装置，使槽内水位维持不变，则放水管任一截面处水的流速、压强等均不随时间而变化，即属于稳定流动。

图2-6 稳定流动

（二）不稳定流动

流体在流动时，任一截面处的流速、流量和压力等与流动有关的物理量随时间而变化，这种流动称为不稳定流动。如图2-7所示的水槽，因上面没有水补充，随着槽中的水被放出，槽中水位逐渐降低，所以放水管中水的流速、压力也逐渐降低，即属于不稳定流动。

图2-7 不稳定流动

应该指出，稳定流动并不是指各个截面处的流速等物理量都不变。如流体在不等径的管路中做稳定流动，沿流程各截面处的流速并不相等，但在每一个截面处的流速始终是不变的。因此，也可以这样说，在稳定流动中，流速等物理量可以随位置而变，但同一位置处的这些物理量不随时间而变。相反地，在不稳定流动中，流速等物理量既随位置而变，又随时间而变。

三、流体流动的连续性方程

如图2-8所示，流体在截面1-1′和2-2′间一段管路中作稳定流动，流体从截面2-1′流入，从截面2-2′流出。当管路中的流体形成稳定流动时，管中必定充满流体。换句话说，流体必定是连续流动的。这种流体连续的特性，称为稳定流动的连续性。

图2-8 连续性方程的推导

在稳定流动的管路中，流体保持连续的实际意义是，稳定流动系统中物料的质量保持不变。如该段管路没有另外的流体入口和漏损，则按质量守恒的原则，入口截面1-1′处的质量流量，必等于出口截面2-2′处的质量流量，即

式（2-23）称为稳定流动连续性方程。

设流体的流速和密度，在2-1′处为u1、ρ1，在2-2′处为u2、ρ2；管路的截面积，在2-1′处为A1，在2-2′处为A2；则W1=u1 A1ρ1，W2=u2 A2ρ2。将W1、W2 代入式（2-18）可得

式（2-24）表明，在稳定流动的管路中，任一截面处流体的流速、密度与截面积的连乘积相等。

当流体为液体时，ρ1=ρ2，则式（2-19）可以改写为

式（2-25）表明，在稳定流动时，液体的流速与截面积成反比。

即流速与直径的平方成反比。

四、伯努利方程

流体在稳定流动时，应服从能量守恒定律。依据这一定律，单位时间内输入管路系统的能量应等于从管路系统中输出的能量。伯努利方程式即是依据这一定律导出的。

从物理学中得知，物质所具有的能量的形式是多种多样的，如机械能、内能、电磁能、原子核能等，但在流体流动系统里，流体的能量主要表现为机械能和内能，其他形式的能量或不存在，或可忽略。流体的内能与温度有关，若输送管路上有换热器把流体加热或冷却，则可使其内能改变。但不可压缩流体受热不膨胀，其内能不能转化为机械能，对流体输送不起作用。所以，对液体进行能量衡算时，内能一项可不列入。这样，在液体的流动中，只考虑机械能守恒及各种形式机械能的转换即可。

（一）流体的机械能

流体在流动时所具有的机械能有下列几项。

（1）位能。流体因受重力作用，在不同高度处有不同的位能，相当于质量为m 的流体自基准水平面升举到某高度z 所做的功，即

位能=mgz（J）

单位质量流体所具有的位能为mgz/m=gz，其单位为J/kg。位能是个相对值，随所选的基准水平面位置而定，在基准水平面以上的位能为正值，以下为负值。

（2）动能。流体以一定速度运动时，便具有一定的动能。质量为m、流速为u 的流体所具有的动能为

（3）静压能。在静止流体内部任一点都有一定的静压力存在。同样，在流动着的流体内部，任一点也有一定的静压力存在。如图2-9所示，在有液体流动的任一管壁处开一小孔，装上一根垂直的细玻璃管，液体便会在玻璃管内上升一定的高度，此上升的液柱即表明流动的液体内部有静压力存在。流体在管道内流动时，受静压力的推动使液体向前运动所具有的能量，即静压力推动液体运动所做的功，称为静压能。

图2-9 流动液体静压力的存在示意图

（二）伯努利方程

伯努利方程可通过能量衡算推导得到。在如图2-10所示的稳定流动系统中，不可压缩的流体从截面2-1′流入，经过粗细不同的管道，从截面2-2′流出。管路上装有对流体做功的泵。设基准水平面为截面0-0′，衡算基准为1kg流体。

图2-10 伯努利方程的推导

根据能量守恒定律，从截面2-1′输入的总能量等于从截面2-2′输出的总能量。即

输入的总能量=输出的总能量

即

现将它们代入能量衡算式得

式中 z1、z2——截面2-1′与截面2-2′的中心至基准水平面0-0′的垂直距离，m；

p1、p2——流体在截面2-1′与截面2-2′处的压力，N/m2；

u1、u2——流体在截面2-1′与截面2-2′处的流速，m/s；

We——质量为1kg的流体从流体输送机械所获得的能量，J/kg；

∑hf——质量为1kg的流体从截面2-1′流到截面2-2′过程中因流体阻力而引起的能量损失，J/kg；

ρ——流体的密度，kg/m3；

g——重力加速度，其值为9.807m/s2。

若流体流动时不产生流动阻力，即∑hf=0，这种流体称为理想流体。对于理想流体流动而无外加能量加入时，式（2-27）可简化为

式（2-28）称为伯努利方程，而式（2-27）是伯努利方程的引申，习惯上也称为伯努利方程。

（三）伯努利方程的讨论(www.xing528.com)

（1）由式（2-28）可知，任一截面上单位质量流体所具有的位能、静压能和动能之和（又称总机械能）为一常数，即

常数意味着单位质量的理想流体在流动系统的各截面上所具有的总机械能相等，但各截面上的每种能量并不一定相等，且各种能量可以相互转换。例如，某理想流体在水平管道中稳定流动时，若在某处管道的截面积缩小，则流速增大，即一部分静压能转变为动能；反之，若另一处管道截面积增大，则流速减小，即一部分动能又转变为静压能。

（2）如果以单位重量（1N）流体为衡算基准，则将式（2-27）各项除以g 得

令

则

（4）若所研究的系统里没有外功加入，则We=0；又若系统里的流体是静止的，则u=0；流体没有流动，则没有阻力产生，即∑hf=0。于是，式（2-27）变为

上式即为流体静力学基本方程的另一种表达式。它表明流体内任一点流体的机械能总和是一个常数。伯努利方程不仅说明了流体流动的规律，还说明了静止流体的规律。静止不过是流动的一种特殊形式。

（5）根据伯努利方程算得的外加能量We（J/kg）或外加压头He（m）是选用流体输送机械的重要数据。单位时间输送机械所做的有效功称为有效功率，用符号Ne 表示，单位为J/s或w，即

Ne=WWe

或

式中 W——被输送流体的质量流量，kg/s；其他符号的意义和单位同前。

伯努利方程的应用有很多方面，如流量计的操作、泵的扬程测定等，这些内容将在以后介绍。

（四）应用伯努利方程解决流动问题时的要点

（1）作流程图：为了使计算系统清晰，有利于正确解题，应先根据题意画出流程示意图，定出衡算范围，并将主要数据列于图中。

（2）截面的选取：两截面均应与流体流动方向垂直，并且在两截面间的流体的流动是连续、稳定的。选取截面时须注意要便于解题，因此，所选的截面应是已知条件最多的截面，所求的未知量应在两个截面之一上反映出来。若要求外加能量时，则两截面应分别在输送机械的两侧。

（3）基准水平面的选取：原则上基准面可以任意选定，但必须与地面平行。为简化计算，常取较低的截面为基准水平面。

（4）单位必须一致：方程式中各物理量的单位应尽量采用国际单位制（SI制）。两截面处的流体压力可以用绝压或表压表示，但必须一致。

【例1】 水槽液面至水管出口的垂直距离保持6.2米，水管为Φ114x4mm 钢管，能量损失为58.86J/Kg，求水的体积流量。

【解】 取水槽液面为1-1截面，水管出口为2-2截面，以过2-2中心的水平面为基准水平面，列出1-1与2-2间的伯努利方程式

已知z1=6.2m；z2=0；p1=p2=0（以表压计）；We=0；u1=0

将以上数据带入公式，得

得

u2=1.98m/s

V=（π/4）d2u=（π/4）（0.106）2×1.98=0.0174m3/s