非线性有限元分析的数值方法附录

D.1 概述

求解非线性问题的数值方法可以归为以下三类：

● 增量控制技术。

● 迭代方法。

● 终止规则。

SOLIDWORKS Simulation为每种方法提供不同的参数选择，本章将回顾这些数值求解方法，并指出如何选择合适的参数。

D.2 增量控制技术

结构力学中的非线性问题可以通过施加的载荷与响应之间的图表进行表示。这个图表也称为平衡路径，因为曲线上的每个点都代表内力（来自响应）和施加载荷之间的平衡状态。非线性问题的结果是通过逐步增加载荷，直到所有载荷施加之后才完成的。每增加一次载荷，SOLIDWORKS Simulation都会计算满足平衡的适当响应。与载荷增量相对应的求解过程被认为是伪时间步长（或有时作为一个时间步）。描述各种伪时间步长的载荷曲线称为时间曲线，可以由用户自行定制。

D.2.1 力控制方法

力控制方法允许用户根据自定义的时间曲线增加载荷。在SOLIDWORKS Simulation中可以指定载荷倍数与伪时间步长之间的图表。任意伪时间步上的载荷增量取决于载荷倍数的插值，然后取载荷倍数与指定载荷的积。SOLIDWORKS Simulation计算出相对于这个载荷增量的响应，如图D-1所示。

图D-1 力控制方法

SOLIDWORKS Simulation为所有载荷指定一条默认的时间曲线，它沿着两个间点渐变，一个点位于0时刻，数值为0，另一个点位于1s，数值为1。力控制方法适用于因集中力、压力、规定的位移、热应力和重力而产生的非线性问题。

D.2.2 位移控制方法

根据用户定义的时间曲线，位移控制方法允许用户在一个特定方向的节点处增加位移。SOLIDWORKS Simulation根据每个时间步长计算载荷倍数。载荷倍数与加载的载荷模式的积为该时间步长的载荷，如图D-2所示。

图D-2 位移控制方法

D.2.3 弧长控制方法

通过对平衡方程添加一个约束（辅助）方程的方法指定一个特定参数。从几何角度讲，控制参数可以视作平衡路径的弧长。加载载荷的模式成比例地增加（使用一个集中载荷倍数），以达到控制平衡路径指定长度（弧长）下的平衡。该方法不需要时间曲线，SOLIDWORKS Simulation会自动计算出弧长，如图D-3所示。弧长控制方法通常用于研究结构的屈曲或后屈曲行为。

D.3 迭代方法

前文提到，求解非线性静态问题的一组基本方程可以表示为

[K（u，F）]{u}={F（u）} （D-1）式中，[K]为总体刚度矩阵；{u}为响应向量；{F}为外加载荷向量。

图D-3 弧长控制方法

请注意总体刚度矩阵响应向量和外加载荷向量，通过使用增量控制技术，式（D-1）在第n个时间步长处可以写为

在式（D-2）中，使用上标（n）代表所有数量都对应伪时间n秒。

式（D-2）的求解可以通过下面的迭代方法完成：

步骤1 对第一个时间步长，预测响应向量等于线性静态分析的响应

{u₀^（1）}=线性静态分析的位移向量 （D-3）式中，上标（1）表示它是第一个时间步长，下标（0）表示它是迭代的开始。(www.xing528.com)

步骤2 基于这个假设，可以计算出总体刚度矩阵，第二个响应向量

{u₁^（1）}可以通过求解下面的矩阵方程得出

同样的，上标（1）表示它是第一个时间步长，下标0（响应1）表示它是迭代（第一次迭代响应）的开始。

步骤3 请注意，上面的响应向量{u₁（1）}并不满足平衡条件。内力和施加的载荷之间的差值为残差向量

式中，下标m为迭代指数，本例中m=1。

步骤4 为了更正预测的响应向量，可以通过求解下面的方程来计算响应校正{Δu_m（1）}

式中，[K_m^（1）]为第m次迭代时第一次增量的切线刚度矩阵，它是在SOLIDWORKSSimulation中通过迭代的方式计算的。针对响应向量无限小的改变，切线刚度矩阵表示载荷向量的变化率。

步骤5 现在对增量计算出新的响应向量

步骤6 使用响应向量和增加迭代指数m+1，重复执行步骤3～步骤5。迭代会一直持续下去，直

到残差向量相对于加载的载荷增量非常小时才停止。这样就完成了对第一个时间步的响应计算。

步骤7 继续增加载荷，对所有的时间步长重复执行步骤2～步骤6。

D.3.1 牛顿拉夫森（NR）

上面的方程称为牛顿拉夫森方法，其过程可以通过图D-4表示。

请注意，切线刚度矩阵K_m（n）需要在每个迭代m和每个加载步长n后重新计算。这是牛顿拉夫森方法的基本特征。

D.3.2 修改的牛顿拉夫森（MNR）

在修改的牛顿拉夫森方法（MNR）中，切线刚度矩阵不需要在每次迭代m后重新计算。相反，第一次迭代中计算得到的切线刚度矩阵会在后续迭代中继续使用。只有在逐次迭代中残差向量不减少时，切线刚度矩阵才会“更新”或重新计算。修改的牛顿拉夫森方法也可以通过图D-5表示。

图D-4 牛顿拉夫森方法

图D-5 修改的牛顿拉夫森方法

当且仅当任意迭代的预测响应接近确切的响应时，牛顿拉夫森（NR）和修改的牛顿拉夫森方法（MNR）就会确保收敛。因此，为了让NR方法和MNR方法达到适当的收敛，选择合适的载荷增量尺寸至关重要。SOLIDWORKS Simulation具有一套智能算法，可以根据迭代收敛选择载荷步长的大小，称为自动步进，而且用户可以选择载荷增量的上界和下界。NR方法比MNR方法具有更高的收敛速度。然而，NR方法的切线刚度矩阵需要在每次迭代中成形和分解。对于大问题而言，这个步骤将非常耗费资源，此时采用MNR方法更加有利。

D.4 终止规则

之前介绍的增量控制方法和迭代方法可以在SOLIDWORKS Simulation中随意选择。实际上，一种方法的特定选择或数值参数不可能适合所有类型的非线性问题，如果满足下列任一条件，在非线性求解过程中SOLIDWORKS Simulation会停止计算：

1.响应向量满足收敛公差。

2.达到平衡迭代的最大值。

3.总体刚度矩阵遇到奇点。

4.塑性问题中达到了最大应变增量。