如何进行非线性结构分析？

A.1 概述

工程师或设计人员遇到的所有分析问题都可以通过非线性分析完成。然而，和静态分析相比，非线性分析需要更多的步骤进行设置，并且需要更长的时间来求解结果。

当满足下列条件时，可以采用线性静态分析：

● 材料是线弹性的，即移除载荷后，几何体会恢复原状。

● 和模型尺寸比较而言，变形量很小。

● 载荷及约束一直加载在模型上，大小和方向均保持不变，而且载荷不会导致分离的零件相互接触。

如果不满足以上任何一项，则不能使用线性静态的方法。这时载荷（广义力）和响应（广义位移）的关系变为非线性，则必须使用非线性分析以得到更真实的结果，如图A-1所示。

线性静态问题的线性方程组（SLE）可以由下面的矩阵形式表达

[K]{u}={F}式中，{u}为未知模型位移的一个矢量；[K]为刚度矩阵，取决于模型的几何形状及材料；{F}为外部加载力的矢量。线性静态分析中的两个重要约束是[K]和{F}为常数，SLE可以通过一个载荷步骤求解出结果。

当前面的条件不满足时，若[K]和{F}不再是常数，则用户面对的将是一个非线性分析，描述问题的方程也将修改为

图A-1 非线性示意图

[K（u，F（u））]{u}={F（u）}

式中，刚度矩阵是最终位移{u}和外部作用力{F（u）}的函数。

这样，我们便无法一步求解出结果，必须做更多的计算

A.2 非线性类型

非线性问题分为以下三类：

● 几何非线性。

● 材料非线性。

● 边界非线性。

每种类型可以单独出现，或者与其他类型组合出现。

A.2.1 几何非线性

这类非线性源自几何形状的大位移影响。为了演示几何非线性的概念，请想象一根悬臂梁在一定压力作用下的情况，如图A-2a所示。首先，假定相对于横梁的刚度而言，右端施加载荷非常小，结果导致变形量几乎可以忽略不计，如图A-2b所示。横梁变形后的刚度[K₁]（表示为几何形状和材料的函数）将无限接近横梁未变形时的刚度[K]。因此可以得出结论：[K]≈[K₁]，只要上面的假设成立，则线弹性的解[K]{u}={F}就有效。

如果相同的横梁加载了更高的压力，则变形量也会变大。由于几何形状的明显变化，该横梁的刚度[K₃]也会明显不同，线弹性的解将不再有效，如图A-2c所示。

图A-2b和图A-2c通常分别对应小位移和大位移问题，总的来说，大位移会导致结构的硬化和（或）软化，如图A-3所示。

位移相关载荷 外加载荷随着结构的位移增加而发生变化，会产生保守或非保守的加载。在保守加载的情况下，结果只取决于初始值和最终值，而在非保守加载的情况下，结果与路径相关，上面的假设将不再有效（参见Timoshen-ko and Gere，1963）。(www.xing528.com)

A.2.2 材料非线性

这类非线性行为源自应力和应变的非线性关系，如图A-4所示。

有几个因素可以影响应力-应变关系，例如：

● 加载历史；塑性问题。

● 加载持续时间：蠕变分析，粘弹性。

● 温度：热-塑性。

图A-2 几何非线性示意图

后面的章节将讲述更多的材料非线性问题。

图A-3 硬化和（或）软化

图A-4 应力-应变曲线

A.2.3 边界非线性

这类非线性行为源自结构的边界条件（运动和（或）力）的性质发生了改变，涉及机构运动中的分析。

● 接触问题。

● 结构冲击问题。

● 拟合问题。

● 齿轮齿面接触问题。

A.3 非线性的求解

一个非线性问题无法通过一组线性方程组进行数值模拟，它只能通过一组非线性方程组表达，它未必有唯一解，也可能无解。求解非线性问题需要使用递增（步进）的技术，一般来说，每次增量（步长）的迭代是为了满足每次增量（步长）结束时的平衡。

递增的方法是通过增加加载的载荷（从一个步长到下一个步长）来完成的，直到一定的加载值。递增会在一次增量到下一次增量之间产生累积误差，从而产生不正确的结果。因此，应该运行平衡迭代，使结果在预设公差下满足平衡路径。

由于载荷必须递增地加载，下面介绍一个变量，来帮助我们指定分析过程中载荷的变化。

递增载荷及时间曲线 “时间”变量用于给定每个步长（时间曲线）的加载大小，每个步长都对应一个特定的时间。任意给定时间的载荷大小都可以通过“时间曲线”表示。因此，定义非线性分析的时间曲线是一个非常重要的步骤。

提示

在非线性静态分析中，假定所有变形是即刻发生的，不存在惯性力和阻尼。这里的“时间”应该理解为伪时间，它只是用于定义分析过程中载荷是如何递增的。