微分运动的相对坐标系及变换方法

机械手的变换包括平移变换、旋转变换、比例变换和投影变换等。在此，把讨论限于平移变换和旋转变换。这样，就可以把导数项表示为微分平移和微分旋转。为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化，都需要讨论微分运动。

既可以用给定的坐标系也可以用基坐标系来表示微分平移和旋转。已知坐标系｛T｝，可将T+d T表示为?

式（4-2）和式（4-4）中有一共同的项Trans（ dx，dy，dz）Rot（f，dθ）-I。当微分运动是相对基坐标系进行时，我们规定该共同项为Δ；而当运动是相对坐标系｛T｝进行时，记为TΔ。于是，当相对基坐标系进行微分变换时，d T=ΔT；而当相对坐标系｛T｝进行微分变换时，d T=T TΔ。

表示微分平移的齐次变换为

这时，Trans的变量是由微分变化dxi+dyj+dzk表示的微分矢量d。在第3章讨论通用旋转变换时，有

对于微分变化dθ，其相应的正弦函数、余弦函数和正交函数分别为

结合旋转齐次变换，可把微分旋转齐次变换表示为

绕矢量f的微分旋转dθ等价于分别绕三个轴x，y和z的微分旋转δx，δy和δz，即fxdθ=δx，fydθ=δy，fzdθ=δz，代入式（4-10）得(www.xing528.com)

类似地，可得TΔ的表达式为

于是，可把微分平移和旋转变换Δ看成由微分平移矢量d和微分旋转矢量δ构成的，它们分别为：d=dxi+dyj+dzk，δ=δxi+δyj+δzk。我们用列矢量D来包含上述两矢量，并称之为刚体或坐标系的微分运动矢量：

【例4.1】　已知坐标系｛A｝和对基坐标系的微分平移与微分旋转分别为

试求微分变换d A。

解　首先据式（4-11）可得

再按照d T=ΔT，有d A=ΔA，即