直角坐标系变换方法优化为：直角坐标系变换的方法

1.坐标系位置及姿态描述

在三维笛卡儿坐标系中，我们可以用位置矩阵表达空间内任一点的具体位置。

即图3-1中坐标系｛Oh｝的原点在坐标系｛O｝中的位置可以写成一个3×1的矩阵。

两个坐标系之间的角度关系即姿态，可以用坐标系三个坐标轴两两夹角的余弦值组成3×3的姿态矩阵来描述。

图3-1　位置及姿态示意图

2.平移变换

设坐标系｛Oi｝和坐标系｛Oj｝具有相同的姿态，但它们的坐标原点不重合，若用矢量表示坐标系｛Oi｝和坐标系｛Oj｝原点之间的位置关系，则坐标系｛Oj｝就可以看成由坐标系｛Oi｝沿矢量pij平移变换而来的，如图3-2所示。所以称矢量pij为平移变换矩阵，它是一个3×1的矩阵，即

若空间有一点在坐标系｛Oi｝和坐标系｛Oj｝中分别用矢量ri和rj表示，则它们之间有以下关系：

式（3-4）称为坐标平移方程，相关矢量关系如图3-3所示。

图3-2　两个坐标系间位置关系示意图

图3-3　坐标平移示意图

3.旋转变换

设坐标系｛Oi｝和坐标系｛Oj｝的原点重合，但它们的姿态不同，则坐标系｛Oj｝就可以看成由坐标系｛Oi｝旋转变换而来的。旋转变换矩阵比较复杂。图3-4中，坐标系｛Oi｝和坐标系｛Oj｝的三个坐标轴均不重合，较复杂。最简单的是绕一根坐标轴的旋转变换。下面以此来对旋转变换矩阵作一说明。

首先看绕z轴旋转θ角的情况。如图3-5所示，坐标系｛Oi｝和坐标系｛Oj｝的原点重合，坐标系｛Oj｝相当于由坐标系｛Oi｝绕其z轴旋转了一个θ角而来。θ角的正负一般按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆时针为正。

图3-4　坐标系Oi与坐标系Oj的关系1

图3-5　坐标系Oi与坐标系Oj的关系2

若空间有一点p，则其在坐标系｛Oi｝和坐标系｛Oj｝中的坐标分量之间有以下关系：

若补齐所缺的项，再作适当变形，则有

将式（3-6）写成矩阵的形式，则有(www.xing528.com)

再将其写成矢量形式，则有

式（3-8）称为坐标旋转方程。

式中：ri——p点在坐标系｛Oi｝中的坐标列阵（矢量）；

rj——p点在坐标系｛Oj｝中的坐标列阵（矢量）；

——坐标系｛Oj｝变换到坐标系｛Oi｝的旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵。

同理，可得绕x轴旋转α角的旋转变换矩阵为

绕y轴旋转β角的旋转变换矩阵为

旋转变换矩阵的逆矩阵既可以用线性代数的方法求出，也可以用逆向的坐标变换求出。以绕z轴旋转θ角为例，其逆向变换即为绕z轴旋转-θ角，则其旋转变换矩阵就为

逆矩阵为

即

4.联合变换

设坐标系｛Oi｝和坐标系｛Oj｝之间存在先平移变换后旋转变换的关系，则空间任一点在坐标系｛Oi｝和坐标系｛Oj｝中的矢量之间就有以下关系：

称为直角坐标系中的坐标联合变换方程。

【例3.1】　已知坐标系｛B｝的初始位置与坐标系｛A｝重合，首先坐标系｛B｝沿坐标系｛A｝的x轴移动12个单位，并沿坐标系｛A｝的y轴移动6个单位，再绕坐标系｛A｝的z轴旋转30°，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某点在坐标系｛B｝中的位置矢量为rB=5i+9j+2k，其中i，j，k是坐标系｛B｝对应坐标轴上的单位矢量，求该点在坐标系｛A｝中的位置矢量。

解　由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为

则该点在坐标系｛A｝中的位置矢量为

若坐标系｛Oi｝和坐标系｛Oj｝之间是先旋转变换，后平移变换，则上述关系应如何变化？经分析可知，此时式（3-15）应变为

当坐标系之间存在多次变换时，直角坐标变换就无法用同一规整的表达式表示，因此往往引入齐次坐标变换。