相似理论：物理现象的相似条件及其应用

相似，是指原型系统和模型系统中相对应的各点及在时间上对应的各瞬间的一切物理量成比例。相似理论，是从现象发生和发展的内部规律性（数理方程）和外部条件（定解条件）出发，以这些数理方程所固有的在量纲上的齐次性以及数理方程的正确性不受测量单位制选择的影响等为大前提，通过线性变换等数学演绎手段而得到结论。

相似理论具有高度的抽象性与宽广的应用性相结合的特点，用它可以指导试验的根本布局问题，为模型试验提供指导，确定尺度的缩小比例、参数的提高或降低、介质性能的改变等，目的在于以最低的成本和在最短的运转周期内研究出所研究模型的内部规律性。

相似理论具有严谨的逻辑结构，其主要是建立在相似三定理的基础之上。与此同时，相似三定理也同样为我们明确了相似研究的方法与途径。

（1）相似第一定理

两个相似的物理现象应属于同一类物理现象，它们都用相同的数学物理方程描述。物理现象的几何条件、物性条件、边界条件、初始条件都必定是相似的。在空间及时间对应点上，诸物理量各自互成一定的比例，同时这些物理量又必须满足同一微分方程组。因此，各物理量的比例系数（相似比）不是任意的，而是彼此制约的。彼此相似的物理现象必须服从同样的客观规律，若该规律能用方程表示，则物理方程式必须完全相同，而且对应的相似准则必定数值相等。值得注意的是，一个物理现象中在不同的时刻和不同的空间位置相似准则具有不同的数值，而彼此相似的物理现象在对应时间和对应点则有数值相等的相似准则，因此，相似准则不是常数。

对于两个相似的力学系统，在任何一个力学过程中，它们相对应的尺寸、时间、力和质量等基本物理量应当有几何相似、动力相似和运动相似。

①几何相似。模型（下标m表示）与原型（下标p表示）相对应的空间尺寸成一定的比例，即：

②运动相似。模型与原型中对应点沿相似轨迹运动走过几何相似的路程所用的时间成比例，即：

③动力相似。模型与原型对应时刻所受的力互成一定的比例，即：

在重力和内部应力作用下，煤岩变形和破坏过程中的主导相似准则为：

以上各式中，C为相似常数；Lp、Tp、Fp、Mp、Ap、Rp、Cp分别为原型几何尺寸、时间、作用力、质量、加速度、应力、容重；Lm、Tm、Fm、Mm、Am、Rm、Cm分别为模型几何尺寸、时间、作用力、质量、加速度、应力、容重。

（2）相似第二定理(www.xing528.com)

两个物理现象相似，必定是同一类物理现象。因此，描述物理现象的微分方程组必定相同，这是现象相似的第一个必要条件。单值条件相似是物理现象相似的第二个必要条件。由于服从同一微分方程组的同类现象有许多，单值条件可以将研究对象从无数多现象中单一地区分出来，数学上则是使微分方程组有唯一解的定解条件。单值条件中的物理量所组成的相似准则相等是现象相似的第三个必要条件。

（3）相似第三定理

单值条件是为了把个别现象从同类物理现象中区别出来，所要满足的条件称为单值条件，单值条件具体有：

①几何条件：说明进行该过程的物体的形状和尺寸。

②物理条件：说明物体及介质的物理性质。

③边界条件：说明物理表面所受的外力，给定的位移及温度等。

④初始条件：现象开始产生时，物体表面某些部分所给定的位移和速度以及物体内部的初应力和初应变等。

⑤时间条件：说明进行该过程在时间上的特点。

地下工程在自重作用下的弹性力学模型所需确定的相似比有：几何相似比Cl、容重相似比Cγ、应力相似比Cσ、应变相似比Cε、弹模相似比CE、泊松比相似比Cμ、位移相似比Cδ。根据相似条件，各相似比之间有如下关系：

对于初始条件和边界条件相似的模型与原型，在岩体结构、力学性质以及边界条件上应尽可能相似。相似材料模拟试验要达到准确定量的程度，目前的试验手段还有一定差距，因为它涉及的因素较多，如选用材料、材料配比、比例尺寸、温度、湿度、加载方式、时间和传感器灵敏度等。