2-1 章首寄语
本课特点
重点内容
学法指南
从本章开始，学习制图课的主要任务——如何画图、怎样看图，才真正切入正题。
先提个醒：本章内容是制图课的理论基础，在整个制图教学中具有极其重要的地位。
我们知道，任何新知识都需建立在已有的基础知识之上。然而，制图这门新课，其基础知识却主要来自本课自身，即从投影概念，点、直线、平面及简单体的投影，一阶一阶地砌垒而成。这个基础打好了，以后的学习将一帆风顺；否则，将寸步难行。这既是学习之优者的经验，也是学习吃力者的教训，而且为历届学生所证明。足见，这些基础理论在教学中具有的地位。因此，必须重视它，学好它，掌握它。
那么，怎样才能学好呢？下面，先介绍本课的特点及应采用的思维方式。
画图，是运用正投影法，将物体用几个平面图形表示出来的过程——由“空间”到“平面”的转化；看图，是运用投影的可逆性，根据平面图形想象物体形状的过程——由“平面”到“空间”的转化。这种转化，在画图、看图过程中每时每刻都在进行着，脑海中似乎始终有物体的形象在闪现，这就是形象思维的过程（即本课以形象思维为主）。如果从投影作图开始，就着意养成正确的思维方式，学习则很容易走上正道。相反，若是采用死记硬背的学法，则难免误入歧途。
那么，具体的思维过程是怎样的呢？先举个例子——问：俯、左视图分别表示物体的哪些方位？答题时，正确的思维方式是：脑中应立即出现物体投射，投影面展开、摊平之情状，然后边想图，边回答：“俯视图反映物体的左、右和前、后，左视图反映物体的上、下和前、后”（答得有点卡壳也无妨）。但是，决不能背答（答得纯熟也不可取），如果背对了，但在图中对不上号，就更糟了。显然，以后学习、作题的思维方式，均应以前者为鉴。
（一）投影规律与方位关系
“长对正、高平齐、宽相等”中的长、宽、高，其值分别在OX、OY、OZ轴的方向上度量。凡与OX轴平行的线段，再短也视为长（宽、高也同样）。“长对正”是指主、俯视图，“高平齐”是指主、左视图，“宽相等”是指俯、左视图。它与物体的方位关系相辅而行，即长度方向表示左右，宽度方向表示前后，高度方向表示上下。其中，“宽指前、后”容易弄混，不能将俯视图的上、下边，误认为是物体的上、下面（而是后、前面）；不能将左视图的左、右边，误认为是物体的左、右面（也是后、前面）。理解上的偏差，主要是忽略了投影面H、W在分别向下、向右旋转90°时，空间视图也同样随着投影面一起旋转的缘故。
掌握投影规律、明确方位关系，是为了指导画图和看图。譬如，画图时，在长度方向上——主、俯视图及其中的每一部分，必须有投影对应关系。在宽度方向上——俯、左视图，在高度方向上——主、左视图，也必须有投影对应关系。看图时也同样要应用这些理论，但其角度似乎有些侧重，尤其表现在寻找上下、左右、前后关系上。很明显，若上下、左右、前后关系均不清、不明，怎么看图呢？所以，必须明确：主视图不反映前、后，俯视图不反映上、下，左视图不反映左右。反过来讲，若想象物体的左、右关系，必须看主、俯视图；想象物体的上、下关系，必须看主、左视图；想象物体的前、后关系，必须看俯、左视图。
上面的内容可归结为一句话：投影、方位关系很重要，它是开启画图、看图之锁的金钥匙。所以，必须通过作图反复地练，才能达到融会贯通、真正掌握的效果。
（二）点、直线、平面的投影
点、直线、平面是组成物体最基本的几何元素，研究其投影，将起到从微观的角度进一步揭示画图实质、加深理解物体由空间到平面转化过程的作用，对画图和看图具有重要的理论指导意义。
1.点的投影
“两点的相对位置”是本节内容的要害，它与“视图与物体的方位关系”一脉相承，具有训练辨向、转向的作用。
学习时，应把握住以下几点：
（1）两点的相对位置，是相对于投影面而言，系指空间两点至各个投影面的距离，以坐标表示，由三个异向坐标差决定。
（2）判别时，先看一面投影（任选），以确定出两个方向的位置：如W面，根据两点的Z坐标确定出上下，根据Y坐标确定出前后。再看另一面或两面（V、H面）投影，根据X坐标，以确定W面所不能反映的左右位置。这样，由二维到三维，才能确定空间两点的相对位置。
（3）看投影图时，最终的熟练程度应达到：即刻反映出两点投射的空间（即投影时的轴测图）情状，然后迅速地判定出两点的上下、前后、左右的位置关系，进而能说出：它是通过什么坐标反映的，以及至该投影面距离的大小（包括为“0”的情况），等等。
（4）熟练地掌握空间两点的轴测图画法。这种轴测图，实际上就是投影面展开前两点投射的原始状态。它不仅能直观地反映出空间两点的相对位置，同时，也为绘制直线、平面乃至简单体的轴测图打好基础。
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2.直线、平面的投影
（1）掌握各种位置直线、平面的投影特性，其熟练程度应达到：①能够迅速地画出各种位置直线、平面的三面投影图，并总结出投影特性。②根据各种位置直线、平面的投影图，应即刻反映出空间的投射状态，想象出线、面的空间位置，说出其线、面的名称。
（2）学习时，可将教室三个互相垂直的墙面当作投影面，用铅笔、三角板等物比示，在画、看的反复演练中，验证、归纳投影规律。除完成习题外，还应以画徒手图的形式、采用自己拟题（如画三面投影图、给出两面求作第三面投影等）的方法，多多演练，务必做到切实掌握。同时，还要注意将线、面的投影与简单体的投影结合起来进行分析。
（三）直线与平面及两平面的相对位置
掌握几何元素之间的相对位置关系是学习图示，以及学习图解法的重要基础：一是研究各种几何元素在空间的相对位置以进行几何分析，二是研究它们与投影面的相对位置以进行投影分析，从而培养和发展空间想象能力和提高投影分析能力。
1.平行问题
学习时要抓住两点：一是掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面三种平行关系的几何条件，以及它们之间的内在联系；二是熟悉各种平行关系的投影特征、作图要领以及根据投影图判断平行关系的方法。其中，直线与直线平行关系的作图是最基本的，而在面上作线则是必须纯熟掌握的。
2.相交问题
学习时要抓住两点：一是掌握直线与直线、直线与平面，以及平面与平面三种相交关系的图解作图方法，其重点是一般位置直线和平面相交求交点作图的三个步骤，不仅要掌握作图方法，还要建立清楚的空间概念；二是要掌握相交元素可见性的判断方法。其中，直线与平面相交的作图方法是最基本的。
相交问题的作图方法（共有点求法）如下：
（1）利用直线和平面的积聚性投影。积聚性投影，相当于共有元素（交点）的一个投影是已知的，这就使问题的性质转化为在面上取点或在线上取点的问题，从而简化了相交问题的作图。直线投影的可见性一般可直接看出，当然也可以利用重影点进行判断。
（2）辅助平面法。利用辅助平面的目的是为了利用积聚性的条件以简化作图，所以一般都选用投影面垂直面作为辅助平面。作图时，首先要明确求直线与平面交点的作图原理及作图的三个步骤，还要注意直线在各个投射方向的可见性情况是不同的。作图时必须分别加以判断。
（3）两个一般位置平面相交。求两平面的交线，也就是求作两个共有点的连线，所以两面相交也可以转化为线面相交的问题。
3.垂直问题
学习时一定要掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面三种垂直关系的几何定理，其中，最基本的是直线与直线垂直。要熟悉直角定理的作图原理、空间概念和投影特征，并掌握线面垂直和面面垂直的几何条件及其投影作图方法。此外，还应知道，直角定理也适用于二直线垂直交叉，而相交二直线之一平行于某个投影面，则钝角在该投影面上的投影仍为钝角，锐角的投影仍为锐角。
在垂直关系中，还要熟练掌握“过点作线垂直于已知平面”和“过点作面垂直于已知直线”两个基本作图方法。
（四）换面法
当几何元素对于投影面处于一般位置时，是不能从投影上直接得出它们的真实形状、距离和角度的。换面法，就是研究如何改变空间几何元素对投影面的相对位置，借助于改变后所得的新投影，来达到简便地解决上述问题的目的。
学习本章内容，应重点抓住以下几个问题：
（1）深刻地理解换面法的基本原理，弄清点的一次换面和二次换面的作图规律。
1）新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置，并垂直于一个旧投影面。
2）点的新投影与不变投影的连线必须垂直于新投影轴。
3）点的新投影至新投影轴的距离，等于该点的旧投影到旧投影轴的距离。当两次或多次换面时，V面、H面必须交替变换。
（2）掌握四个基本作图问题。
1）把一般位置直线变换为投影面平行线——变换一次。
2）把一般位置直线变换为投影面垂直线——变换两次。
3）把一般位置平面变换为投影面垂直面——变换一次（需用平面内的平行线为辅助线）。
4）把一般位置平面变换为投影面平行面——变换两次。
（3）掌握用换面法求线段实长、平面实形、斜面间夹角及两斜管之间的距离等度量问题。作图时，要善于想象一、二次换面的投射状态，先分析命题结果，再以此确定有关的几何元素应对新投影面处于什么样的特殊位置，从而得出具体的作图方法和步骤。班级姓名学号
2-2 分析三视图的形成过程，并填空说明三视图之间的关系
投射方向与视图名称的关系
由____向____投射所得的视图，称为____；
由____向____投射所得的视图，称为____；
由____向____投射所得的视图，称为____。
视图间的三等关系
主、俯视图____；
主、左视图____；
俯、左视图____。
视图与物体间的方位关系
俯、左视图，远离主视图的一边，表示物体的____面；靠近主视图的一边，表示物体的____面。
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2-3 分析下列三视图，辨认其相应的轴测图，并在空圈内填上相应三视图的编号
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2-4 将轴测图上表示投射方向的箭头，注上“主视”或“俯视”或“左视”，然后参照轴测图补画视图中所缺的图线
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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2-5 根据三视图辨认其相应的立体图，并补全视图中所缺的图线
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2-6 第1、2、3题：根据两视图，参照轴测图补画所缺的第三视图；第4题：根据俯视图，完成主、左视图（形状自定）
1.
2.
3.
4.
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2-7 三视图作业
作业3 三视图
（一）内容
根据模型（或轴测图）画三视图。
（二）目的
1）初步掌握根据模型画三视图的方法。
2）掌握三视图之间的对应关系。
3）进一步掌握制图工具和用品的使用方法。
（三）要求
1）用A3图纸，横放，每张纸画六个模型的三视图。
2）画出投影轴和全部投影连线。
3）绘图比例自定。
（四）作图步骤
1）先用细实线将图纸的有效作图面积均匀分成六格。布图时，三视图之间的距离应适当，六组三视图的总体布局也应协调、匀称。
2）主视图的选择，应能明显地表现模型的形状特征。一般常以模型的最大尺寸作为长度方向的尺寸。在决定主视图投射方向时，还应考虑到各个视图中的细虚线越少越好。
3）起底稿，首先画出投影轴，其次画外形轮廓线，再按顺序画其他轮廓线。
4）底稿完成后，经检查、修正，再按线型的规格描深。
（五）注意事项
1）三视图应按规定的位置配置，且符合“长对正、高平齐、宽相等”的关系。
2）度量模型尺寸所得的小数，画图时要化为整数。
3）应注意细虚线与其他线相交处的画法。
（六）图例
2-8 在轴测图中量取尺寸的方法及根据轴测图画三视图
1.根据轴测图画三视图时，怎样度量尺寸呢？
轴测图中的轴测轴X、Y、Z与三视图中的投影轴X、Y、Z有着一一对应的关系。在正等轴测图（右图）中度量尺寸时，凡与X、Y、Z轴平行的线段，均可按1∶1取至三视图中，且应分别与投影轴X、Y、Z轴相平行。但与X、Y、Z轴不平行的线段，即轴测图中的斜线不可直接量取。作图时，只能依据该斜线两端点的坐标，先定点，再连线。
此外，画图时还应注意，轴测图中相互平行的线段，在三视图中也一定相互平行。
正等轴测图
三视图
2.根据正等轴测图，画三视图（比例2∶1）。
3.根据正等轴测图，画三视图（比例2∶1）。
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2-9 根据轴测图画三视图作业题（由教师选定6个作为正规作业题，其余各题可在后两页方格纸上徒手画草图）
2-10 依据（2-9）题，徒手绘制三视图（将所画题的序号填在网格右下角的圆内）
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（续）
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2-11 看视图想出物体形状，补画视图中所缺的图线
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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2-12 点的投影
1.完成点A的轴测图（图1）；根据图1求作A点的三面投影图（图2）；再根据图2求作点A的轴测图（图3）（X、Y值均增大一倍，Z值不变），然后分析图3中各条线的意义（可在其等长线上画一相同记号配合分析），并写出A点的坐标——A（ 、 、 ）。
图1
图2
图3
2.分别画出各四棱锥锥顶的投影连线（细实线），补全投影的标号，再比较锥顶点Ⅰ、Ⅱ的相对位置。
点Ⅰ在点Ⅱ的____、____、____方。
3.已知点A、点B的一面投影，又知点A距H面20mm，点B在V面上，求作点A、点B的另两面投影。
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2-13 点的投影
1.已知点B距H面25mm、距V面15mm、距W面30mm，试作出点B的三面投影图。
2.已知点A在点B的左方20mm、下方20mm，前方10mm，求点A的三面投影，并说明两点的相对位置。
点A在点B的____、____、____方。
3.已知点E在W面上，点F在H面上，在轴测图上标出e、e′、e″，及f、f′、f″。根据给出的二面投影，求e及f″，并写出两点的坐标。
E（ ） F（ ）
4.在正五棱台的主视图、左视图和轴测图上注出俯视图中指出的相应字母，并比较两点的相对位置。
点B在点A的____、____、____方。
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2-14 点的投影
1.在三视图中，标出A、B、C三点的三面投影。
2.已知正三棱锥的俯视图，又知锥顶S距H面25mm，锥底位于H面上，试补画主、左视图。
3.填空。
（1）若点A的X、Y、Z坐标均小于点B的X、Y、Z坐标，则点B在点A的____、____、____方。
（2）已知点A（30、10、20），则点A距V面为____，距H面为____，距W面为____。
（3）当点有一个坐标为0时，则该点一定在某一____上。如：点A的____坐标为0，则点A一定在____投影面上。
（4）当点有两个坐标为0时，则该点一定在某一____上。如：点A的X、Z坐标为0，则点A一定在____轴上。
4.已知A、B两点对W面重影，试完成A点的轴测图和投影图，并回答问题。
对W面的一对重影点，其____、____坐标相同，____坐标不同；
对V面的一对重影点，其____、____坐标相同，____坐标不同；
对H面的一对重影点，其____、____坐标相同，____坐标不同。
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2-15 点的投影(www.xing528.com)
1.已知点A的轴测图和投影图，以及点B的坐标（35、14、6），试完成直线AB的轴测图和投影图。
2.已知四个点的坐标：S（25、15、30），A（45、10、0），B（30、30、0），C（5、0、0），画出它们的投影图；然后将它们的同面投影用直线段连接起来，看看它表示的是什么立体？
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2-16 直线的投影
1.在轴测图中，用细实线画出物体上各可见点与其投影的连线，并将该体上的一条正平线及其三面投影用色笔加深。
数数物体上共有：
____条正垂线；
____条铅垂线；
____条正平线；
____条侧垂线。
2.在轴测图上，用粗实线画出铅垂线AB的三面投影，并完成该物体的三视图。
查查物体上共有：
6条____线；
4条____线；
6条____线；
2条____线。
3.补画正五棱锥主视图中所缺的图线。想想：哪条线反映该体侧棱的实长（在其线上画○）？
4.在正六棱柱的俯视图中，补画棱线AB、CD的投影，并将其三面投影涂色。
想一想：
（1）AB、CD是什么线？
（ ）
（2）该线有什么投影特性？即：
V面投影成____，
H、W面投影反映。
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2-17 直线的投影
1.怎样根据直线的三面投影图，想象直线的空间位置？
想一想，看一看
此一般位置直线很容易判断，重要的是，必须想象出直线的空间位置——它的方位、“走向”及与各投影面的距离等。其想象方法、过程与想象点的空间位置相同（见右图）。
2.求ab，判断AB的空间位置，并在图上标出它与V面及W面的倾角β和γ。
直线AB____是线。
3.求作正平线CD的三面投影，已知CD长25mm，与H面倾角为30°。
4.求侧垂线EF的三面投影，已知EF长为30mm，距V面18mm，距H面23mm，端点E距W面为40mm。
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2-18 直线的投影
1.分析下图中箭头所指各组粗实线是物体上什么位置直线的投影（填在括号内）。
2.根据下述投影特性想象直线的空间位置，并填空。
（1）若直线的W面投影是一个点，V、H面投影均反映实长，且分别垂直于OZ、OYH轴，这是____线的投影特性。左图中____线的投影与此相符。
（2）若直线的W面投影是倾斜的，V、H面投影分别平行于OZ、OYH轴，这是____线的投影特性。左图中____线的投影与此相符。
（3）若直线的H面投影是倾斜的，V、W面投影分别平行于OX轴和OYW轴，这是____线的投影特性。左图中____线的投影与此相符。
3.徒手画出1题中尚未包含的三种位置直线的三面投影图（线段长度和位置自定，加注投影符号，并填空写出直线名称）。
（1）____线。
（2）____线。
（3）____线。
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2-19 直线的投影
1.用直角三角形法求线段AB的实长和对H、V面的倾角α、β。
2.已知线段CD的实长为40mm，用直角三角形法求CD的正面投影c′d′。
3.已知Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三点分别在三棱锥的SA、SB、SC棱线上，求此三点的水平投影及侧面投影，然后将它们的同面投影用直线连接起来，并判别ⅠA、ⅡB、ⅢC直线的空间位置。
ⅠA是____线；
ⅡB是____线；
Ⅲc是____线；
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2-20 直线的投影
1.已知直线AB的两面投影，求作直线上点K的投影，并使AK∶KB=3∶2。
2.过点C做直线与已知直线AB相交于K，并使K到V、H面的距离相等。
3.已知线段AB和BC的实长相等，又知AB的两面投影及BC的正面投影，求BC的水平投影。
4.求点C到水平线AB的距离CK及其投影。
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2-21 直线的投影
1.判断AB、CD两直线的相对位置（平行、相交、交叉）。
（ ） （ ） （ ）
2.过点A作直线与直线BC相交，交点K距V面为15mm。
3.过点A作直线与BC、DE相交。
4.注出AB和CD交叉两直线重影点的投影。
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2-22 平面的投影
1.将图1、图3所示平面的轴测图画在图2中，然后将两平面的上、下对应点用粗实线连接起来，并擦去被遮挡的图线，最后将图2所示形体的三视图，画在图4中。
图1
图2
图3
图4
2.先完成物体投影的直观图，再完成三视图。
物体上共有：
____个正平面：
____个水平面：
____个侧平面：
____个正垂面。
3.将想象出的平面形状徒手画在左格内，再作图加以验证。
该平面图形是____面。
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2-23 平面的投影
1.分析下图中箭头所指平面的三面投影，它是属于所示物体上的什么面（填在括号内）。
2.先求平面的第三投影，再以该平面图形为一完整视图，按厚度为15mm，完成其物体的三视图。
（1）
3.根据平面两投影求第三投影（形状自定）。
4.根据平面多边形的两投影，求第三投影。
（2）
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2-24 1、2题：从视图中的斜线/出发，在另两视图中找出对应投影（将其三投影和轴测图中的相应表面涂色），并说明其空间位置
1.
该平面是____面。
2.
该平面是____面。
3.被切正六棱柱的上端面为一正垂面，试完成该棱柱的W面投影。
4.开槽四棱柱的前端面为一侧垂面，试完成该棱柱的H面投影。
由上述作图可知，视图中的斜线一般是物体上斜面（投影面垂直面）的投影，与斜线对应的另两面投影一定是与原形边数相等的多边形（类似形）。掌握该投影特性对读图有益，对读切割体的视图尤其重要。
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2-25 平面的投影
1.根据两面投影想象出平面形状，并判别其空间位置；将想象出的W面投影徒手画在左格内；再求作其W面投影加以验证。
该平面图形是____面。
2.根据俯视图、左视图，参照立体图完成主视图，并回答问题。
△ⅠⅡⅢ是____面。
△ABC是____面。
四边形ABⅠⅡ是____面。
3.根据主视图、俯视图，参照立体图完成左视图，并回答问题。
平面形ABCDE是____面。
4.根据主视图、左视图完成俯视图；又知该体前表面上点N的一面投影n′，求另两面投影n、n″。
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2-26 平面的投影
1.判断点是否在平面上。
点Ⅰ（在、不在）△ABC上。
点Ⅱ（在、不在）△ABC上。
点Ⅲ（在、不在）△ABC上。
2.在△ABC上取一点K，距离V面12mm，距离H面15mm。
3.完成带缺口的正四棱锥的H面、W面投影。
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2-27 直线与平面平行
1.试过点K作一直线MN与平面△ABC平行。
2.试过点A作一正平线与平面△ABC平行。
3.试判别直线DE是否平行于平面△ABC。
4.试过点K作平面与平面△ABC平行。
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2-28 求直线与平面的交点，并将可见部分改画成粗实线
1.
2.
3.
4.
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2-29 求平面与平面的交线，并将可见部分改画成粗实线
1.
2.
3.
4.
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2-30 求平面与平面的交线，并将可见部分改画成粗实线
1.
2.
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2-31 直线与平面、平面与平面垂直
1.判断下列平面与平面是否互相垂直。
2.过点M作直线垂直于平面。
3.试过点A作平行于直线CJ且垂直于△DEF的平面。
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2-32 换面法（一）
1.求线段AB的实长及对H面的倾角α和对V面的倾角β。
2.已知e、f、f′和α=30°，求直线EF的正面投影。
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2-33 换面法（二）
1.求四边形ABCD的实形。
2.求平面△ABC和△BCD的夹角θ。
3.求平行二直线AB、CD间的距离。
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2-34 换面法（三）
1.求△ABC的实形。
2.已知等边三角形为正垂面，点C在AB的前方，试补全△ABC的两面投影。
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