分析计算题解答方法

7.22 一个全波整流电流波，振幅为100mA，ω=314rad/s，试将其分解为傅里叶级数（精确到4次谐波）。并求其直流分量、基波和2次谐波。

解：查表7-1得

直流分量为，基波为0，2次谐波为

7.23 已知某电压波如图7-5所示，试将其分解为傅里叶级数，并求其直流分量、基波和2次谐波。

解：参阅例7-1。

7.24 已知三角电压波如表7-1所示，U_m=10V，T=0.02s，试将其分解为傅里叶级数，并求直流分量、基波、3次谐波和5次谐波。

解：T=0.02s，ω=2π/T=2π/0.02=100πrad/s

查表7-1得

表7-1中所示三角波无直流分量，基波为8.11sin100πt；3次谐波为0.9sin300πt；5次谐波为0.324sin500πt。

7.25 已知矩形波电压如图7-6所示，U_m=10V，试将其分解为傅里叶级数。并求其直流分量、基波、3次谐波和5次谐波。

图7-5 习题7.23波形图

解：查表7-1得：

直流分量为0，基波为，3次谐波为；5次谐波为。

图7-6 习题7.25波形图

7.26 试画出上题矩形波的频谱图。

解：从上题已知，该方波的傅里叶级数为

据此，画出其频谱图如图7-7所示。

7.27 已知电流：，试画出其频谱图。

解：画出i频谱图如图7-8所示。

图7-7 习题7.26频谱图

图7-8 习题7.27频谱图

7.28 试求图7-9所示非正弦周期电压的直流分量和平均值。

图7-9 习题7.28波形

解：参阅例7-2。

7.29 已知非正弦周期电压波如图7-10所示，试求其有效值和平均值。

解：有效值

平均值

（1）图7-9a为半波整流电压波。

图7-10 习题7.29波形

有效值：

平均值：

（2）图7-9b为全波整流电压波。

有效值：

平均值：

7.30 已知电路和输入电压波形如图7-11所示，R=50Ω，L=25mH，试求u_L及其有效值U_L（精确至5次谐波）。

解：图7-11所示矩形脉冲波，查表7-1得其傅里叶级数

从图7-11可知：T=4ms，τ=2ms，，代入上式得

（1）直流分量作用：

电感相当于短路，U_L0=0

图7-11 习题7.30电路和波形

（2）1次谐波作用：

（3）3次谐波作用：

（4）5次谐波作用：

7.31 已知RC滤波电路和输入电压分别为如图7-12a、b所示，R=200Ω，C=50μF，u_I=200+100sinωt（V），f=100Hz，试求输出电压u_O，并定性画出u_O波形。

解：输入电压u_I由两种成分构成，直流成分U_I0=200V和交流成分（一次谐波）u_I1=100sinωtV，电容对直流相当于开路，因此，输出电压u_O的直流成分U_O0=200V。对1次谐波，电容容抗

定性画出u_O波形图如图7-12c所示。

从图中看出，输入电压经RC滤波电路后，输出电压中的直流成分未变，而交流成分大大衰减了（幅值从100V→15.8V），同时还有一定相移（滞后80.9°）。

图7-12 习题7.31电路和波形

7.32 已知电路如图7-13所示，R=1kΩ，C=50μF，i=1.5+sin6280t（mA），试求端电压u。

解：（1）直流分量作用：电容相当于开路，I₀全部流过电阻R。

U₀=I₀R=1.5×10^-3×1×10³V=1.5V

（2）交流分量作用。

|Z|=|R∥（-jX_C）|≈X_C

i中交流分量几乎全从电容支路通过。

U_1m=I_1m|Z|≈I_1mX_C1=1×3.18mV=3.18mV

图7-13 习题7.32电路

上述电路和计算表明，R与C并联，且满足R≫X_C时，电流中的直流成分从R中流过，交流成分从C中流过。且由于X_C很小，产生的交流电压很小，C被称作旁路电容，这种电路在电子技术中得到广泛应用。

7.33 已知电路如图7-14所示，R=2kΩ，C=10μF，u_I=2+sinωt（V），f=2kHz，试求输出电压u_O。

解：输入电压u_I含有两种成分：直流成分和交流成分。

对直流成分，电容C相当于开路，U_O0=0。

对交流成分，，因此

，即u_O=sinωt

图7-14 习题7.33电路

上述电路和计算表明，R与C串联，且满足RX_C时，电压中的直流成分被C隔断，交流成分从C中流过。且由于X_C很小，u_I在C上分压很小，绝大部分落在R上作为u_O输出。C被称作耦合电容，起隔直通交的作用，这种电路在电子技术中得到广泛应用。

7.34 已知电路如图7-15所示，R=100Ω，L=1H，u_I=（20+100sinωt+70sin3ωt）V，f=50Hz，试求输出电压u_O。

解：（1）直流分量，电感对直流相当于短路，因此，U_O0=U_I0=20V

（2）基波：X_L1=ωL=2πfL=2π×50×1Ω=314Ω

图7-15 习题7.34电路

（3）3次谐波：

因此，u_O=U_O0+u_O1+u_O3=[20+30.3sin（ωt-72.3°）+7.4sin（3ωt-83.9°）]V

7.35 已知电感L在有效值为100V、角频率为ω的正弦电压作用下，电流有效值为10A。现有一非正弦周期性电压，包含基波和2次谐波，电压有效值U和基波角频率仍分别为100V和ω，在该电压作用下，电流有效值为，试求该非正弦周期电压的基波和二次谐波的有效值U₁、U₂。

解：电感电抗：(www.xing528.com)

非正弦周期电压作用时，X_L1=10Ω，X_L2=2X_L1=20Ω，

联立求解得U₁=60V，U₂=80V

7.36 已知RLC串联电路，R=10Ω，L=0.05H，C=22.5μF，基波频率f=50Hz，电路两端电压u=[40+180sinωt+60sin（3ωt+45°）+20sin（5ωt+18°）]V，试求电路中电流i和有效值I。

解：（1）直流分量，电容相当于开路，I₀=0

（2）基波：ω=2πf=2π×50s^-1=314rad/s

X_L1=ωL=314×0.05Ω=15.7Ω

（3）3次谐波：

（4）5次谐波：

7.37 已知电路如图7-16所示，输入电压u_I中仅包含基波和3次谐波成分，即u_I=u_I1+u_I3，C₂=0.25μF，基波角频率ω=100rad/s。若要求u_O=u_I1，即保留1次谐波，滤出3次谐波，试求L、C₁值。

图7-16 习题7.37电路

解：u_O=u_I1，即由L、C₁、C₂组成的滤波器对基波发生串联谐振（阻抗→0），对3次谐波发生并联谐振（阻抗→∞）。

L、C₁串联谐振时，

L、C₁、C₂并联谐振时，

代入ω=100rad/s，且联立求解得

7.38 试求习题7.36电路的功率。

解：P₀=0

7.39 流过电阻5Ω的电流为i=（5+14.14cost+7.07cos2t）A，试计算电阻吸收的功率。

解：

7.40 已知RL串联电路，外加电压，R=20Ω，L=63.7mH，试求i、I和P。

解：X_L1=ω₁L=（314×63.7×10^-3）Ω=20Ω

7.41 已知某二端网络流过的电流，端电压，试求：（1）电压、电流有效值U、I；

（2）电路吸收的平均功率；（3）电路功率因数。

解：（1）

（2）

（3）视在功率：S=UI=52.9×5.48VA=290VA

功率因数：

7.42 已知RL串联电路，如图7-17所示，R=3Ω，ωL=2Ω，，试求u_R、u_L、u和电路吸收功率。

解：

另解：

图7-17 习题7.42电路

7.43 已知电路如图7-18所示，u=50+300sin（ωt+30°）V，i_a=10+152sin（ωt-30°）A，i_b=8.93sin（ωt-10°）A，试求：（1）i和I；（2）电路吸收的有功功率。

解：（1）直流成分：I₀=I_a0+I_b0=（10+0）A=10A

交流成分：

图7-18 习题7.43电路

7.44 已知电路如图7-19所示，，R=6kΩ，ωL=2kΩ，，试求电压表、电流表和电能表读数。

解：（1）直流分量：电容对直流相当于开路，因此，I₀=0，U_RL0=0

（2）基波：

（3）3次谐波：

图7-19 习题7.44电路

（4）电压表读数：

电流表读数：

功率表读数：P=P₀+P₁+P₃=0+U₁I₁cosφ₁+U₃I₃cosφ₃

=[80×4.7×cos（0°-69.4°）+18×3×cos（0°-0°）]mW=186.3mW

7.45 已知电路如图7-20所示，f=50Hz，电压u的成分只有基波u₁和三次谐波u₃，且U₃=0.4U₁，、、读数分别为60V、15A、225W，试求R、L参数。

解：P=I²R，

图7-20 习题7.45电路

代入数据并联立求解得

7.46 已知RLC串联电路的端电压和电流分别为

u=[100sin314t+50sin（942t-30°）]V

i=[10sin314t+1.755sin（942t+φ_i3）]A

试求：（1）R、L、C值；（2）电流3次谐波初相位角φ_i3；（3）电路吸收功率P。

解：（1）因基波作用时，u与i同相，表明电路对基波发生串联谐振。

三次谐波作用时，

又因，，代入数据得，解得X_L1=10Ω，

（2）

7.47 已知RL串联电路，R=3Ω，L=12.74mH，外施电压u=（30+60sin314t）V，试求：（1）电流i和I；（2）电路吸收功率。

解：（1）直流分量：电感相当于短路，

交流成分：X_L1=ωL=（314×12.74×10^-3）Ω=4Ω

因电路总的有功功率即为电阻R吸收功率，因此也可按下式求解：

P=I²R=13.1²×3W=515W

7.48 已知RLC串联电路，R=10Ω，L=100mH，C=200μF，u=[20+20sinωt+10sin（3ωt+90°）]V，f=50Hz，试求：（1）电流i和I；（2）电路吸收功率P；（3）电路功率因数。

解：（1）①对直流成分，C相当于开路，因此，I₀=0

②对基波：

③对3次谐波：

有功功率也可按下式计算P=I²R=0.773²×10W=5.97W

（3）电压有效值：

视在功率：S=UI=25.5×0.773VA=19.7VA

功率因数：