电压波分解与谐波计算分析

【例7-1】已知某电压波如图7-1所示，试将其分解为傅里叶级数，并求其直流分量、基波和2次谐波。

解：表7-1中无此非正弦周期波，但可将该波看作为表7-1中三角波与直流分量10V电压的叠加，因此

其中直流分量为10V，基波为8.11sinωt。无2次谐波分量。

图7-1 例7-1波形图

【例7-2】试求图7-2中非正弦周期电压的直流分量和平均值。

图7-2 例7-2波形

解：直流分量是非正弦周期性函数傅里叶级数中的常数项或数学平均值，可按公式A计算。函数波形简单时，可直接用观察法、削峰填谷求解。平均值可分为数学平均值和热效应平均值，数学平均值即常数项，热效应平均值是考虑电流热效应后的平均值，应按公式计算。

（1）u₁的直流分量与平均值相等：。

（2）因u₂在一个周期内正负面积相等，其直流分量为0，即U₂₀=0。

u₂的平均值：U_2av=U_2m=10V

（3）直流分量：U₃₀=0；平均值：

（4）u₄的直流分量与平均值相等：U₄₀=U_4av=10V

【例7-3】已知电路如图7-3所示，u_S（t）为表7-1中的全波整流电压，U_Sm=12V，基波频率f=50Hz，R=1kΩ，L=2H，C=20μF，试求精确到4次谐波时的i（t）和u_R（t），并计算其有效值。

解：查表7-1，全波整流电压傅里叶级数为

精确到4次谐波时，u_S（t）包含三种成分：直流分量、2次谐波和4次谐波，现分别计算如下：

（1）直流分量单独作用，电感相当于短路，电容相当于开路。

图7-3 例7-3电路

（2）二次谐波单独作用：(www.xing528.com)

电阻电容并联支路复阻抗：

因此，i₂=4.33cos（2ωt-89.7°）mA

u_R2=0.344cos（2ωt-175.2°）V

（3）4次谐波单独作用：

因此，i₄=0.412cos（4ωt+90°）mA

u_R4=0.0164cos（4ωt+2.3°）V

（4）叠加：

i（t）=I₀+i₂+i₄=[7.64+4.33cos（2ωt-89.7°）+0.412cos（4ωt+90°）]mA

u_R（t）=U_R0+u_R2+u_R4=[7.64+0.344（2ωt-175.2°）+0.0164cos（4ωt+2.3°）]V

（5）计算有效值：

本例电路的作用将在电子技术课程LC滤波电路中详述，在此不妨提前简要说明一下。全波整流后的输入电压u_S（t）中，2次谐波和4次谐波分量分别为直流分量的66.7%和13.3%，经过LC滤波后，加到负载R上电压u_R（t）中的2次谐波和4次谐波分量分别只有直流分量的0.344/7.64=4.5%和0.0164/7.64=0.21%。因此，相对于直流分量，交流脉动成分已可忽略不计，u_R可看做直流电压。

【例7-4】已知某二端网络两端电压u=[100+80sinωt+50sin（3ωt+60°）+20sin（5ωt+30°）]V，电流i=[1.2sin（ωt-40°）+0.8sin（3ωt+20°）+0.4sin（5ωt-30°）]A，试求其有功功率和功率因数。

解：各次谐波有功功率：

总有功功率：P=P₀+P₁+P₃+P₅=（0+36.77+15.32+2）W=54.1W

电压有效值：

电流有效值：

视在功率：S=UI=121×1.06VA=128.26VA

功率因数：