【例4-1】已知下列正弦量表达式,试求其幅值和初相。
(1)u=200sin(ωt+250°)V
(2)i=-5sin(ωt-50°)A
解:(1)Um=200V;,φ=-110°。
图4-13 初相位角换算
由于|φ|≤180°,250°显然不符合要求。按照三角函数中正负角度的概念,250°即-110°,如图4-13所示,因此,φ=-110°。
具体计算方法:可将φ±360°。φ为负值时,φ+360°;φ为正值时,φ-360°。
(2)Im=5A;φ=130°。
正弦量幅值定义为正弦量的振幅,振幅恒为正值。至于“-”号,表示反相,即实际初相位比φ角越前或滞后180°。
具体计算方法:可将φ±180°。φ为负值时,φ+180°;φ为正值时,φ-180°。
本题φ=-50°,因此,φ=-50°+180°=130°。
【例4-2】已知A,(ωt-50°)A,试求:
(1)i3=i1+i2;
(2)i4=i1-i2;
(3)画出、、、相量图。
解:根据i1、i2写出其相量式:
(1)
图4-14 例4-2相量图
因此,
(2)。
因此,
(3)画出相量图如图4-14所示。其中可认为,先求出,然后再求。
【例4-3】已知纯电感电路如图4-15a所示,L=3H,iL=4sin(120t-66°)A,试求XL、uL、,并画出、相量图。
解:XL=ωL=120×3Ω=360Ω
根据iL写出相量式,
uL=1440sin(120t+24°)V,
画出、相量图如图4-15b所示,其中φu=24°,φi=-66°。
图4-15 纯电感正弦交流电路
【例4-4】已知纯电容电路如图4-16a所示,C=2.2μF,f=50Hz,,试求XC、iC、,并画出、相量图。
解:
根据uC写出相量式
图4-16 纯电容正弦交流电路
画出、相量图如图4-16b所示,其中φi=55°,φu=-35°。
【例4-5】已知电路如图4-17a所示,,XC=10Ω,若要求uo滞后ui30°,试求电阻R值,并求、、uR、uo,画出相量图。
解:定性画出电压相量图和阻抗三角形如图4-17b、c所示,因此:
图4-17 例4-5电路和相量图
a)电路 b)电压相量图 c)阻抗三角形
【例4-6】已知电阻R1=20Ω与电感线圈串联,电路如图4-18a所示,接电压50V,频率50Hz的电源,测得电流为1A,线圈两端电压ULR=40V,电阻R两端电压UR1=20V,试求线圈的电感L和线圈直流电阻R。(www.xing528.com)
解:画出相量图如图4-18b所示,在由、和组成的电压三角形中,根据余弦定理:
图4-18 例4-6电路和相量图
【例4-7】已知RLC串联电路如图4-5所示,,R=30Ω,L=382mH,C=40μF,试求Z、、、、,并画出相量图。
解:XL=ωL=314×382×10-3Ω=120Ω
图4-19 例4-7相量图
画出、、、和相量图如图4-19所示。
【例4-8】已知图4-20a电路中V1、V2和V表读数分别为10V、30V和20V;图4-20b电路中A1、A3和A表读数分别为2A、3A和4A,试分别求V3和A2表读数。
解:对于图4-20a电路,可定性画出、、、和相量图如图4-20c所示,UR、|UC-UL|与U构成电压三角形。已知4个电压中任意3个,均可利用勾股定理求解另一个电压。因此
V。
解得UC有两解:47.3V或12.7V。因此,V3表读数为47.3V或12.7V(与RLC参数有关)。
同理,对于图4-20b电路,可定性画出、、、和相量图如图4-20d所示,IR、|IC-IL|与I构成电流三角形。已知4个电流中任意3个,均可利用勾股定理求解另一个电流。。
解得IL有两解:6.46A、-0.46A,但-0.46A不合题意,应予舍去。因此,A2表读数为6.46A。
需要说明的是,类似本题的电路,UL、UC或IL、IC有可能有两解,但因电表读数为有效值,不能为负值。因此负值不合题意,应予以舍去。
图4-20 例4-8电路和相量图
【例4-9】图4-21所示电路是低频信号发生器中常用的一种电路,称为R-C选频网络。当输入电压频率为某一值f0时,输出电压数值最大,且与输入电压同相。若已知电路参数R、C和,试求Uo最大值和频率f0。
解:
图4-21 例4-9电路
上式分母中虚部时,与同相,且分母模值最小,即Uo最大。从,解得:,。
用ω0表示此时频率:,。【例4-10】已知电路如图4-22a所示,R1=200Ω,R2=300Ω,L=2H,C=10μF,f=50Hz,,试求、和,并画出相量图。
图4-22 例4-10电路和相量图
解:XL=2πfL=2π×50×2=628Ω
画出相量图如图4-22b所示,其中,,与同相,越前;与同相,滞后。
【例4-11】已知电路和参数同例4-10,试求电路P、Q、S。
解:可有两种方法求解。
方法1:P=UIcosφ=245×0.5cos(-6.2°)W=121.8W
Q=UIsinφ=245×0.5sin(-6.2°)var=-13.2var
S=UI=245×0.5VA=122.5VA
方法2:P=PR1+PR2=I21R1+I22R2=(0.3722×200+0.5612×300)W=(27.6+94.4)W=122W
Q=QL+QC=I21XL-I22XC=(0.3722×628-0.5612×318)var
=(86.9-100)var=-13.2var
【例4-12】已知某感性负载接在50Hz、220V电源上,吸收有功功率为100kW,功率因数为0.6,现要求将其功率因数提高至0.9,试求并联电容C值。
解:cosφ1=0.6,φ1=53.1°,tanφ1=1.332;cosφ=0.9,φ=25.8°,tanφ=0.484
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