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电路中的相量分析及勾股定理应用方法

时间:2023-06-27 理论教育 版权反馈
【摘要】:解:XL=ωL=314×382×10-3Ω=120Ω图4-19 例4-7相量图画出、、、和相量图如图4-19所示。已知4个电压中任意3个,均可利用勾股定理求解另一个电压。解得UC有两解:47.3V或12.7V。因此,V3表读数为47.3V或12.7V。解得IL有两解:6.46A、-0.46A,但-0.46A不合题意,应予舍去。因此负值不合题意,应予以舍去。解:图4-21 例4-9电路上式分母中虚部时,与同相,且分母模值最小,即Uo最大。

电路中的相量分析及勾股定理应用方法

【例4-1】已知下列正弦量表达式,试求其幅值和初相。

(1)u=200sin(ωt+250°)V

(2)i=-5sin(ωt-50°)A

解:(1)Um=200V;,φ=-110°。

978-7-111-30233-9-Chapter04-71.jpg

图4-13 初相位角换算

由于|φ|≤180°,250°显然不符合要求。按照三角函数中正负角度的概念,250°即-110°,如图4-13所示,因此,φ=-110°。

具体计算方法:可将φ±360°。φ为负值时,φ+360°;φ为正值时,φ-360°。

(2)Im=5A;φ=130°。

正弦量幅值定义为正弦量的振幅,振幅恒为正值。至于“-”号,表示反相,即实际初相位比φ角越前或滞后180°。

具体计算方法:可将φ±180°。φ为负值时,φ+180°;φ为正值时,φ-180°。

本题φ=-50°,因此,φ=-50°+180°=130°。

【例4-2】已知978-7-111-30233-9-Chapter04-72.jpgA,978-7-111-30233-9-Chapter04-73.jpgωt-50°)A,试求:

(1)i3=i1+i2

(2)i4=i1-i2

(3)画出978-7-111-30233-9-Chapter04-74.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-75.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-76.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-77.jpg相量图。

解:根据i1i2写出其相量式:

978-7-111-30233-9-Chapter04-78.jpg

(1)978-7-111-30233-9-Chapter04-79.jpg

978-7-111-30233-9-Chapter04-80.jpg

图4-14 例4-2相量图

因此,978-7-111-30233-9-Chapter04-81.jpg

(2)978-7-111-30233-9-Chapter04-82.jpg

因此,978-7-111-30233-9-Chapter04-83.jpg

(3)画出978-7-111-30233-9-Chapter04-84.jpg相量图如图4-14所示。其中978-7-111-30233-9-Chapter04-85.jpg可认为978-7-111-30233-9-Chapter04-86.jpg,先求出978-7-111-30233-9-Chapter04-87.jpg,然后再求978-7-111-30233-9-Chapter04-88.jpg

【例4-3】已知纯电感电路如图4-15a所示,L=3H,iL=4sin(120t-66°)A,试求XLuL978-7-111-30233-9-Chapter04-89.jpg,并画出978-7-111-30233-9-Chapter04-90.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-91.jpg相量图。

解:XL=ωL=120×3Ω=360Ω

根据iL写出相量式978-7-111-30233-9-Chapter04-92.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-93.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-94.jpg

uL=1440sin(120t+24°)V,

画出978-7-111-30233-9-Chapter04-95.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-96.jpg相量图如图4-15b所示,其中φu=24°,φi=-66°。

978-7-111-30233-9-Chapter04-97.jpg

图4-15 纯电感正弦交流电路

【例4-4】已知纯电容电路如图4-16a所示,C=2.2μF,f=50Hz,978-7-111-30233-9-Chapter04-98.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-99.jpg,试求XCiC978-7-111-30233-9-Chapter04-100.jpg,并画出978-7-111-30233-9-Chapter04-101.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-102.jpg相量图。

解:978-7-111-30233-9-Chapter04-103.jpg

根据uC写出978-7-111-30233-9-Chapter04-104.jpg相量式978-7-111-30233-9-Chapter04-105.jpg

978-7-111-30233-9-Chapter04-106.jpg

978-7-111-30233-9-Chapter04-107.jpg

图4-16 纯电容正弦交流电路

画出978-7-111-30233-9-Chapter04-108.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-109.jpg相量图如图4-16b所示,其中φi=55°,φu=-35°。

【例4-5】已知电路如图4-17a所示,978-7-111-30233-9-Chapter04-110.jpgXC=10Ω,若要求uo滞后ui30°,试求电阻R值,并求978-7-111-30233-9-Chapter04-111.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-112.jpguRuo,画出相量图。

解:定性画出电压相量图和阻抗三角形如图4-17b、c所示,因此:

978-7-111-30233-9-Chapter04-113.jpg

978-7-111-30233-9-Chapter04-114.jpg

图4-17 例4-5电路和相量图

a)电路 b)电压相量图 c)阻抗三角形

【例4-6】已知电阻R1=20Ω与电感线圈串联,电路如图4-18a所示,接电压50V,频率50Hz的电源,测得电流为1A,线圈两端电压ULR=40V,电阻R两端电压UR1=20V,试求线圈的电感L和线圈直流电阻R。(www.xing528.com)

解:画出相量图如图4-18b所示,在由978-7-111-30233-9-Chapter04-115.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-116.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-117.jpg组成的电压三角形中,根据余弦定理978-7-111-30233-9-Chapter04-118.jpg

978-7-111-30233-9-Chapter04-119.jpg

978-7-111-30233-9-Chapter04-120.jpg

图4-18 例4-6电路和相量图

【例4-7】已知RLC串联电路如图4-5所示,978-7-111-30233-9-Chapter04-121.jpgR=30Ω,L=382mH,C=40μF,试求Z978-7-111-30233-9-Chapter04-122.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-123.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-124.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-125.jpg,并画出相量图。

解:XL=ωL=314×382×10-3Ω=120Ω

978-7-111-30233-9-Chapter04-126.jpg

978-7-111-30233-9-Chapter04-127.jpg

图4-19 例4-7相量图

978-7-111-30233-9-Chapter04-128.jpg

画出978-7-111-30233-9-Chapter04-129.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-130.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-131.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-132.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-133.jpg相量图如图4-19所示。

【例4-8】已知图4-20a电路中V1、V2和V表读数分别为10V、30V和20V;图4-20b电路中A1、A3和A表读数分别为2A、3A和4A,试分别求V3和A2表读数。

解:对于图4-20a电路,可定性画出978-7-111-30233-9-Chapter04-134.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-135.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-136.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-137.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-138.jpg相量图如图4-20c所示,UR、|UC-UL|与U构成电压三角形。已知4个电压中任意3个,均可利用勾股定理求解另一个电压。因此

978-7-111-30233-9-Chapter04-139.jpgV。

解得UC有两解:47.3V或12.7V。因此,V3表读数为47.3V或12.7V(与RLC参数有关)。

同理,对于图4-20b电路,可定性画出978-7-111-30233-9-Chapter04-140.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-141.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-142.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-143.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-144.jpg相量图如图4-20d所示,IR、|IC-IL|与I构成电流三角形。已知4个电流中任意3个,均可利用勾股定理求解另一个电流。978-7-111-30233-9-Chapter04-145.jpg

解得IL有两解:6.46A、-0.46A,但-0.46A不合题意,应予舍去。因此,A2表读数为6.46A。

需要说明的是,类似本题的电路,ULUCILIC有可能有两解,但因电表读数为有效值,不能为负值。因此负值不合题意,应予以舍去。

978-7-111-30233-9-Chapter04-146.jpg

图4-20 例4-8电路和相量图

【例4-9】图4-21所示电路是低频信号发生器中常用的一种电路,称为R-C选频网络。当输入电压978-7-111-30233-9-Chapter04-147.jpg频率为某一值f0时,输出电压978-7-111-30233-9-Chapter04-148.jpg数值最大,且与输入电压978-7-111-30233-9-Chapter04-149.jpg同相。若已知电路参数RC978-7-111-30233-9-Chapter04-150.jpg,试求Uo最大值和频率f0

解:978-7-111-30233-9-Chapter04-151.jpg

978-7-111-30233-9-Chapter04-152.jpg

978-7-111-30233-9-Chapter04-153.jpg

图4-21 例4-9电路

上式分母中虚部978-7-111-30233-9-Chapter04-154.jpg时,978-7-111-30233-9-Chapter04-155.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-156.jpg同相,且分母模值最小,即Uo最大。从978-7-111-30233-9-Chapter04-157.jpg,解得:978-7-111-30233-9-Chapter04-158.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-159.jpg

ω0表示此时978-7-111-30233-9-Chapter04-160.jpg频率:978-7-111-30233-9-Chapter04-161.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-162.jpg【例4-10】已知电路如图4-22a所示,R1=200Ω,R2=300Ω,L=2H,C=10μF,f=50Hz,978-7-111-30233-9-Chapter04-163.jpg,试求978-7-111-30233-9-Chapter04-164.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-165.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-166.jpg,并画出相量图。

978-7-111-30233-9-Chapter04-167.jpg

图4-22 例4-10电路和相量图

解:XL=2πfL=2π×50×2=628Ω

978-7-111-30233-9-Chapter04-168.jpg

画出相量图如图4-22b所示,其中978-7-111-30233-9-Chapter04-169.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-170.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-171.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-172.jpg同相,978-7-111-30233-9-Chapter04-173.jpg越前978-7-111-30233-9-Chapter04-174.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-175.jpg978-7-111-30233-9-Chapter04-176.jpg同相,978-7-111-30233-9-Chapter04-177.jpg滞后978-7-111-30233-9-Chapter04-178.jpg

【例4-11】已知电路和参数同例4-10,试求电路PQS

解:可有两种方法求解。

方法1:P=UIcosφ=245×0.5cos(-6.2°)W=121.8W

Q=UIsinφ=245×0.5sin(-6.2°)var=-13.2var

S=UI=245×0.5VA=122.5VA

方法2:P=PR1+PR2=I21R1+I22R2=(0.3722×200+0.5612×300)W=(27.6+94.4)W=122W

Q=QL+QC=I21XL-I22XC=(0.3722×628-0.5612×318)var

=(86.9-100)var=-13.2var

978-7-111-30233-9-Chapter04-179.jpg

【例4-12】已知某感性负载接在50Hz、220V电源上,吸收有功功率为100kW,功率因数为0.6,现要求将其功率因数提高至0.9,试求并联电容C值。

解:cosφ1=0.6,φ1=53.1°,tanφ1=1.332;cosφ=0.9,φ=25.8°,tanφ=0.484

978-7-111-30233-9-Chapter04-180.jpg

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