电路中的相量分析及勾股定理应用方法

【例4-1】已知下列正弦量表达式，试求其幅值和初相。

（1）u=200sin（ωt+250°）V

（2）i=-5sin（ωt-50°）A

解：（1）U_m=200V；，φ=-110°。

图4-13 初相位角换算

由于|φ|≤180°，250°显然不符合要求。按照三角函数中正负角度的概念，250°即-110°，如图4-13所示，因此，φ=-110°。

具体计算方法：可将φ±360°。φ为负值时，φ+360°；φ为正值时，φ-360°。

（2）I_m=5A；φ=130°。

正弦量幅值定义为正弦量的振幅，振幅恒为正值。至于“-”号，表示反相，即实际初相位比φ角越前或滞后180°。

具体计算方法：可将φ±180°。φ为负值时，φ+180°；φ为正值时，φ-180°。

本题φ=-50°，因此，φ=-50°+180°=130°。

【例4-2】已知A，（ωt-50°）A，试求：

（1）i₃=i₁+i₂；

（2）i₄=i₁-i₂；

（3）画出、、、相量图。

解：根据i₁、i₂写出其相量式：

（1）

图4-14 例4-2相量图

因此，

（2）。

因此，

（3）画出相量图如图4-14所示。其中可认为，先求出，然后再求。

【例4-3】已知纯电感电路如图4-15a所示，L=3H，i_L=4sin（120t-66°）A，试求X_L、u_L、，并画出、相量图。

解：X_L=ωL=120×3Ω=360Ω

根据i_L写出相量式，

u_L=1440sin（120t+24°）V，

画出、相量图如图4-15b所示，其中φ_u=24°，φ_i=-66°。

图4-15 纯电感正弦交流电路

【例4-4】已知纯电容电路如图4-16a所示，C=2.2μF，f=50Hz，，试求X_C、i_C、，并画出、相量图。

解：

根据u_C写出相量式

图4-16 纯电容正弦交流电路

画出、相量图如图4-16b所示，其中φ_i=55°，φ_u=-35°。

【例4-5】已知电路如图4-17a所示，，X_C=10Ω，若要求u_o滞后u_i30°，试求电阻R值，并求、、u_R、u_o，画出相量图。

解：定性画出电压相量图和阻抗三角形如图4-17b、c所示，因此：

图4-17 例4-5电路和相量图

a）电路 b）电压相量图 c）阻抗三角形

【例4-6】已知电阻R₁=20Ω与电感线圈串联，电路如图4-18a所示，接电压50V，频率50Hz的电源，测得电流为1A，线圈两端电压U_LR=40V，电阻R两端电压U_R1=20V，试求线圈的电感L和线圈直流电阻R。(https://www.xing528.com)

解：画出相量图如图4-18b所示，在由、和组成的电压三角形中，根据余弦定理：

图4-18 例4-6电路和相量图

【例4-7】已知RLC串联电路如图4-5所示，，R=30Ω，L=382mH，C=40μF，试求Z、、、、，并画出相量图。

解：X_L=ωL=314×382×10^-3Ω=120Ω

图4-19 例4-7相量图

画出、、、和相量图如图4-19所示。

【例4-8】已知图4-20a电路中V₁、V₂和V表读数分别为10V、30V和20V；图4-20b电路中A₁、A₃和A表读数分别为2A、3A和4A，试分别求V₃和A₂表读数。

解：对于图4-20a电路，可定性画出、、、和相量图如图4-20c所示，U_R、|U_C-U_L|与U构成电压三角形。已知4个电压中任意3个，均可利用勾股定理求解另一个电压。因此

V。

解得U_C有两解：47.3V或12.7V。因此，V₃表读数为47.3V或12.7V（与RLC参数有关）。

同理，对于图4-20b电路，可定性画出、、、和相量图如图4-20d所示，I_R、|I_C-I_L|与I构成电流三角形。已知4个电流中任意3个，均可利用勾股定理求解另一个电流。。

解得I_L有两解：6.46A、-0.46A，但-0.46A不合题意，应予舍去。因此，A₂表读数为6.46A。

需要说明的是，类似本题的电路，U_L、U_C或I_L、I_C有可能有两解，但因电表读数为有效值，不能为负值。因此负值不合题意，应予以舍去。

图4-20 例4-8电路和相量图

【例4-9】图4-21所示电路是低频信号发生器中常用的一种电路，称为R-C选频网络。当输入电压频率为某一值f₀时，输出电压数值最大，且与输入电压同相。若已知电路参数R、C和，试求U_o最大值和频率f₀。

解：

图4-21 例4-9电路

上式分母中虚部时，与同相，且分母模值最小，即U_o最大。从，解得：，。

用ω₀表示此时频率：，。【例4-10】已知电路如图4-22a所示，R₁=200Ω，R₂=300Ω，L=2H，C=10μF，f=50Hz，，试求、和，并画出相量图。

图4-22 例4-10电路和相量图

解：X_L=2πfL=2π×50×2=628Ω

画出相量图如图4-22b所示，其中，，与同相，越前；与同相，滞后。

【例4-11】已知电路和参数同例4-10，试求电路P、Q、S。

解：可有两种方法求解。

方法1：P=UIcosφ=245×0.5cos（-6.2°）W=121.8W

Q=UIsinφ=245×0.5sin（-6.2°）var=-13.2var

S=UI=245×0.5VA=122.5VA

方法2：P=P_R1+P_R2=I²₁R₁+I²₂R₂=（0.372²×200+0.561²×300）W=（27.6+94.4）W=122W

Q=Q_L+Q_C=I²₁X_L-I²₂X_C=（0.372²×628-0.561²×318）var

=（86.9-100）var=-13.2var

【例4-12】已知某感性负载接在50Hz、220V电源上，吸收有功功率为100kW，功率因数为0.6，现要求将其功率因数提高至0.9，试求并联电容C值。

解：cosφ₁=0.6，φ₁=53.1°，tanφ₁=1.332；cosφ=0.9，φ=25.8°，tanφ=0.484