张量介绍及应用解析

1.标量、矢量和张量

由空间一点坐标的实函数所确定的物理量称为标量。标量可为正值或负值。物理中的一些概念及其相关量值，如物体的质量、温度、力所做的功等都属于标量。若某一物理量只有一个分量，其值不随坐标系的变换而改变，则称之为绝对标量。有些物理量，如位移、速度、力等，包含有大小和方向两个物理含义，需要用3个量，即它们在坐标系内用3个分量来表示，这些物理量称为矢量。在三维问题中，每一个矢量可以按基矢量分解成3个分量，而每一分量是与点的坐标有关的数。在直角坐标系中，每一矢量可由3个标量所成的数组来确定，矢量在直角坐标轴上的投影就是矢量在此坐标系中的分量。在不同的坐标系中，分量有不同的数值，但同一个矢量在新、老坐标系的分量间恒满足转换（变换）关系。

若矢量在某一坐标系中已确定，则该矢量在任一坐标系中的分量就可求得。矢量分量的变换公式是齐次线性的，因此，在某一坐标系中等于零的矢量，在一切坐标系中亦必等于零。

矢量的另一种定义是把矢量看作一个实体，它是各个分量与基矢量的组合。矢量的实体不因坐标转换而变化。

与矢量类似，张量可以看作是矢量的扩展。张量可定义为由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合。张量变换至新坐标系时所乘转换系数的个数称为张量的阶数，等于分量指标个数。标量是零阶张量，矢量是一阶张量，tij是二阶张量，等等。有些简单的物理量，例如距离、时间、温度等，只用一个标量就可以表示出来。有些物理量，如位移、速度、力等空间矢量，则需要用坐标系中的3个标量，即它们在坐标系内的3个分量来表示。还有一些比较复杂的物理量，如应力状态、应变状态等，则需要用坐标系中的3个矢量，即9个分量才能完整地表示出来，为二阶张量。

张量的决定性特征是它在不同坐标系中的分量之间可以用一定的线性关系来换算。下面以直角坐标系的变换公式为例进行说明。设坐标系（记为系）的各坐标轴在坐标系Ox1x2x3（记为xi系）中的方向余弦如如下表所示。

上述9个方向余弦可记为lkl或lij（k，l=1'，2'，3'；i，j=1，2，3），k，l表示系的轴号，i，j表示xi系的轴号。xi系各轴在系中的方向余弦可记为lik或ljl。由于，所以lki=lik，llj=ljl。

一阶张量即矢量的坐标变换公式就是矢量转轴公式。设某矢量在xi坐标系中的分量为pi，则在系中的分量为

设某二阶张量在xi系中的分量为pij，在系中的分量为，则它们之间有如下变换关系：

按求和约定展开，即可得到9个分量的变换式，每式为9项之和。

下面来证明应力状态的9个分量符合张量定义。这里用x、y、z表示xi系的3根轴，用x'、y'、z'表示系的轴，并使两个坐标系共原点为O，且所讨论的点在O上，如图B-1所示。设xj系内该点的应力分量为σij，现在来求系中的应力分量σkl。取斜切微分面ABC垂直于系中的x'轴，如能求得该面上的全应力，则它在系中的3个分量就是系中的应力分量。

图B-1

ABC—x'面；OBC—x面；OCA—y面；OAB—z面

为了简化推导，这里采用一些最简单的矢量运算。将原坐标系中的应力分量合成3个微分面（x面、y面、z面）上的全应力矢量px、py、pz，它们和ABC面上的Sx'应使四面体OABC保持平衡。设ABC面的面积为1，则四面体上x面、y面、z面的面积就是x'轴在原坐标系中的3个方向余弦lx'x，lx'y，lx'z，简记为lx'i。根据矢量平衡条件，将有

由矢量代数可知，Sx'的分量Sx'j（j=x，y，z）必为3个矢量lx'ipi的分量之和。考虑到这3个矢量的分量lx'ipij就是lx'iσij，因此有

显然，Sx'j是矢量Sx'在原坐标系中的分量，现在用矢量的坐标变换公式（a），将它变换到xk'系中去变成Sx'l（l=x'，y'，z'），并注意到Sx'l就是系中x'面上的3个应力分量σx'x'，τx'y'，τx'z'，可以简记成σx'l，按式（a）及（c）有

也即

应指出，上式中如下标l取x'，并考虑到lx'x=l，lx'y=m，lx'z=n，展开后就是任意斜截微分面上的正应力公式。

用同样方法可以得到系中y'面和z'面上的应力分量：

令k=x'，y'，z'，则（d）（e）（f）三式可简记为

上式和张量的定义式（b）完全相同，所以应力状态是二阶张量。

二阶张量还可用其他方法来定义：如果在任意直角坐标系中有9个量pij，能使该坐标系中的两个矢量a、b的分量ai、bi（i=1，2，3）具有如下线性关系：

则pij必定构成一个二阶张量，现举例说明。(www.xing528.com)

在直角坐标系中的物体内有一任意点P，它是矢径r的端点（见图B-2），P的坐标xi就是r的三个分量。设P点产生了很小的位移u，它的分量ui是矢径r的分量xi的函数，即ui=fi（xi）

图B-2

现设矢径r有一增量dr，其分量为dxi，则位移矢量u也将有一个增量δu，其分量为

将上式用泰勒公式展开并略去高次项，即有

上式中δui和dxj在任意直角坐标系中都定义两个矢量δu和dr，故由定义式（g）可知，9个偏导数必定构成二阶张量。这个张量就是相对位移张量。

2.张量的基本性质

（1）张量的分量一定可以组成某些函数f（pij），这些函数的值不随坐标而变，即

这样的函数就叫做张量的不变量。对于二阶张量，基本的独立不变量有3个，如用C1，C2，C3表示，则

由这3个基本的不变量可以导出很多其他的不变量，例如应力张量的第二不变量J2就是：

应力张量中的主应力、主剪应力、八面体应力等也都是不变量。

（2）几个同阶张量各对应的分量之和或差定义另一同阶张量。因此，张量可以叠加，也可以分解。应力张量分解成偏张量和球张量即为一例。两个相同的张量之差叫零张量，它的分量都是零。

（3）如某张量具有性质pij=pji，就叫对称张量。应力、应变张量及惯性矩张量等都是对称张量。如某张量具有性质pij=-pji，则叫反对称张量，这时i=j的分量必为零。刚体绕固定点转动张量就是反对称张量。如某张量pij≠pji，就叫非对称张量。上述的相对位移张量就是非对称张量。

将一个非对称张量pij叠加上一个零张量（pji-pji）/2，就可以作如下的分解：

上式等号后边的第一项是对称张量，第二项一定是反对称张量。这就是说，非对称张量一定可以分解成一个对称张量和一个反对称张量。在本书前面的章节中就是用上述方法将非对称的相对位移张量分解成对称的应变张量和反对称的刚体转动张量。

（4）二阶对称张量的一个重要特点是它一定有3个主轴，如取主轴为坐标轴，则两个下标不同的分量都将为零，只留下下标相同的3个分量，叫做主值。这一点可以用好几种方法来证明。例如，在讨论应力张量时，用如下的方程解出主应力和主方向：

现在来证明应力张量的特征方程式（h）必有3个实根，而由式（i）解得的3个主方向一定是相互垂直的。

设σ1主轴方向的方向余弦为l1，m1，n1，将它们代入式（i）中的前3式，可得下列的前3式；同样，由σ2及其方向余弦l2，m2，n2可得到下列后3式。将下列前3式分别乘以l2，m2，n2，后3式分别乘以-l1，-m1，-n1，即

将上列6式加起来，整理后得

如σ1≠σ2，则有

由解析几何可知，上式即表明σ1主轴与σ2主轴是相互垂直的。用同样方法可证明σ3主轴与σ1、σ2主轴都是相互垂直的。

为了证明式（h）必有3个实根，可先假定它有一对共轭复根，即

如将上面的σ1、σ2逐次代入式（i），则解得的两组方向余弦l1，m1，n1和l2，m2，n2也一定是对应的共轭复数。例如，若l1=c+id，则必有l2=c-id，于是l1l2=c2+d2>0。这就是说，它们对应的乘积都是正数，由式（j）可知这是不可能的，所以，σ1≠σ2时，主应力不可能是复数。如果σ1=σ2，则由式（k）可知，虚部系数b必为零，于是，σ1、σ2、σ3在任意情况下都必须是实数。