上下限定理的应用与证明

1.下限法原理

设有一刚塑性体，体积为V，表面积为S，受表面力Ti作用，整体处于塑性状态。表面S分成Su和ST两部分，其中ST部分的表面力Ti是给定的（习惯上称ST为力面），Su部分的位移增量dui也是给定的（习惯上称Su为位移面）。上述给定的边界条件，叫做混合边界条件（见图11-24）。

图11-24　边界条件示意图

用σij、dui和dεij分别表示此时变形体的真实应力场、真实位移增量场和真实应变增量场。于是根据式（11-57），有

把左边项的面积分为Su和ST两部分，同时考虑到应力球的张量不作功，故可改写为

式中，是σij的偏张量。

现在设有另一应力场，它满足平衡微分方程和塑性条件以及ST面上的边界条件（即在ST上，与相对应之表面力等于Ti）。但由该所确定的位移增量场能否在Su上满足dui=，则不加限制。这种应力场称为静力学许可的应力场，它一般不是真实的应力场，但真实的应力场必然是静力学许可的。

下限法原理就是要证明，在Su上，由任一静力学许可应力场所引起的表面力所作的功增量，总是小于或等于真实表面力Ti所作的功增量。证明如下：

把基本能量方程式用于静力学许可应力场和真实位移增量场dui，可有

因为在ST上，Ti=，故

将式（11-61）减去式（11-62），得

按最大散逸功原理，有

于是，式（11-63）即可写成

由式（11-64）可以进一步说明，在Su上，由所确定的载荷P*，总是小于或等于由真实表面力Ti所确定的载荷P（即真实载荷）。由于可以有许多个，故相应的和P*也有许多个。如果对一切静力学许可的应力场都能考虑到，则相应的P*中的最大值就是真实载荷。但由于实际情况往往较复杂，很难考虑到一切静力学许可的应力场，因此一般只能得到小于真实载荷的值。

2.上限法原理(https://www.xing528.com)

用上限法计算极限载荷的关键在于要对塑性变形区分别虚设若干个运动许可的速度场。这些速度场应满足以下3个条件：①符合位移边界条件；②在变形区内保持连续，不产生重叠和拉开；③保持体积不变。而与此速度场对应的应力场 则不一定要求满足平衡条件和力的边界条件。

上限法原理叙述如下：与任意虚设的运动许可速度场相对应的表面力在位移面上所作的功率总是大于（或等于）真实表面力Ti在真实速度场情况下所作的功率。证明如下：

设有一刚塑性体，体积为V，表面积为S，受表面力Ti作用，整体处于塑性状态，表面分成位移面Su和力面ST两部分，通常力面上的边界条件和位移面上的边界条件都是给定的。界条件，即=（见图11-25）。在力面ST上，表面力Ti也是给定的，与速度场对应

今设变形体在外力作用下产生一假想的运动许可速度场，它满足位移面Su上的边的应力场为，应变速率场为，速度间断面SD上的速度间断值为[Vt]，这里假设有多个速度间断面，于是，参考式（11-60），可写出在运动许可速度场条件下的虚功方程为

可改写成

根据最大散逸功原理，有

则式（11-65a）即可改写成

图11-25　给定运动许可速度场的变形体

式中　——位移面上表面力在给定速度下所作的真实功率；

　　　——假想速度场条件下消耗的虚变形功率；

　　　若干速度间断面上的虚剪切功率；

　　　——力面上克服外力所作的虚功率。

式（11-66）表明，Su上真实的变形功率总小于在假想速度场情况下所作的功率。这就是上限原理。

一般在塑性加工中，力面ST通常为自由表面，即Ti=0，于是式（11-66）可简化为常用的形式：

载荷的上限值可在式（11-67）的基础上方便地求得。当假定了运动许可的速度场后，式（11-67）中的不等号右边部分即可求得。根据能量守恒原则，外载荷P*所做功率应该和式（11-66）右边三项能量的代数和相等，即一般，位移面上工具的速度是常数，在假设时就已经给定，因而上限载荷P*即可求出。

为获得更接近真实载荷的上限解，通常需要多设计几个运动许可的速度场，分别求出相应的P*，从中选取最小者，则它与真实载荷P就更为接近。