塑性成形问题的基本分析方法

求解变形体（毛坯）内部的应力大小及分布需联解平衡微分方程、塑性条件、几何方程和本构方程。一般说来，微分方程的边值问题只是在方程的性质比较简单，问题的求解域的几何形状十分规则的情况下，或是对问题进行充分简化的情况下，才能求得解析解。目前，只有某些特殊情况或将实际问题进行一些简化假设后才能求解。根据简化假设的不同，求解方法有主应力法、上限法和滑移线法等。

图11-6　轧制速度对铝的摩擦系数的影响

1-压下率60%，润滑油中无添加剂；2-压下率60%，润滑油中加入酒精；3-压下率25%，润滑油中加入酒精

主应力法是在简化平衡微分方程和塑性条件基础上建立起来的计算方法，其基本思路是将变形体的变形简化为平面变形或轴对称变形，并对应力分量分布规律进行简化，在此基础上，建立变形体中基元板块的力平衡常微分方程，再利用简化的屈服条件对该常微分方程进行简化，积分后利用应力边界条件得出接触面上的应力分布和成形载荷。

上限法是利用虚功原理，将微分方程边值问题转化成积分形式来求解。其中需要根据实际变形情况建立运动学许可的速度场，该速度场要满足速度边界条件、连续性条件和体积不可压缩条件，所求得的载荷大于真实载荷。

滑移线法是一种主要针对平面应变问题的、需要作图求解的方法。应用该方法时，首先要根据边界条件作出变形体中最大剪应力的轨迹（即滑移线）所形成的曲线网格，根据滑移线网格的性质求得变形体中的应力场和速度场。(www.xing528.com)

采用以上方法，可以获得塑性成形问题的理论解，其中主要是成形载荷。这些结果可以定性地表示各个材料和工艺参数与成形力的函数关系，有助于人们对塑性成形规律的理解，但是由于需要引入大量的简化假设以便于求解，所以定量上不够精确。同时，这些方法只能针对成形过程中某一瞬时进行分析的，不能描述成形的全过程。主应力法和上限法仍然为人们广泛地应用，本章将对这两种方法进行介绍。滑移线法由于一般情况下不易作出滑移线网格，应用较为不便，故现在已很少采用，本书也不进行介绍。

随着计算机硬件、软件技术的飞速发展和对塑性成形过程物理规律研究的深入，塑性成形过程数值模拟技术取得了很大的进展。数值模拟即是通过数值计算得到用微分方程边值问题来描述的各种塑性成形问题中工件和模具的位移场（速度场）、应变场、应力场，等等，采用增量计算的方式求得各不同时刻的解，据此预测成形载荷、工件中组织性能的变化及可能出现的缺陷；利用计算机图形技术将这些分析结果直观地、动态地呈现在研究设计人员面前，使他们能通过这个虚拟的塑性加工过程检验工件的最终形状、尺寸、性能等是否符合设计要求，以此来优化模具设计，正确选用机器设备。

数值模拟方法的基本特点是将微分方程边值问题的求解域进行离散化，将原来欲求得在求解域内处处满足场方程、在边界上处处满足边界条件的解析解的要求降低为求得在给定的离散点（节点）上满足由场方程和边界条件所导出的一组代数方程的数值解。这样，就使一个连续的、无限自由度问题变成离散的、有限自由度问题。已经发展的数值模拟方法可以分为两大类：一类以有限元法为代表，另一类以有限差分法为代表。

有限差分法与主应力法有相似之处，都是对微分方程直接进行求解。但有限差分法并不对方程的形式进行简化，而是以差分代替微分，将求解对象在时间与空间上进行离散，对每个离散单元进行各种物理场分析（如温度场、流动场及应力场等），然后将所有单元的求解结果汇总，得到整个求解对象在不同时刻的行为变化，并对分析对象的可能变化（发展）趋势作出预测。有限差分法具有求解过程简单、速度快、前后处理易于实现等优点。因为有限差分法是对空间坐标进行离散的，因此更适合于流体力学问题。

有限元法与上限法有相似之处，都是采用虚功原理和变分原理，将微分方程边值问题表达成积分方程的形式，假设运动学许可的速度场（或位移场），通过求泛函极值的方法确定其中的待定参数，从而得到问题的解答。与上限法中要针对整个变形体假设运动学许可的速度场不同，有限元法的特点是将求解域离散为一组有限个形状简单、且仅在节点处相互连接的单元的集合体，在每个单元内用一个满足一定要求的插值函数描述基本未知量（如位移分量）在其中的分布，随着单元尺寸的缩小，近似的数值解将越来越逼近精确解。因此，有限元法能适应任意复杂的和变动的边界，具有强大的分析求解能力。因为有限差分法是对物质坐标进行离散的，因此更适合于固体力学问题。

由此可见，本书介绍的主应力法和上限法这两种理论分析方法与有限差分法和有限元法这两种数值模拟方法有着密切的联系，在应用中也是相辅相成、互为补充的。本章的内容也为学习和应用数值模拟方法打下必要的基础。