弹性本构方程：理论基础与应用

1.广义虎克定律

在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定律表达，即

对于一般应力状态下的各向同性材料的应力与应变之间的关系，则由广义虎克定律表达，即

式中，E——弹性模量；

　　　ν——泊松比；

　　　G——切变模量。

3个弹性常数E、v、G之间有以下关系：

若将式（10-60）中的3个等式相加整理后可得

即

式（10-62）表明，物体弹性变形时其单位体积变化率θ（θ=3εm）与平均应力成正比，说明应力球张量使物体产生弹性的体积改变。

若将式（10-60）中的前三式分别减去式（10-62），例如：

即

可得3个式子，将这3个式子与式（10-60）中的后三式合并，可写成如下形式：

简记为

上式表示应变偏张量与应力偏张量成正比，即表明物体形状的改变只是由应力偏张量引起的。

由上一章可知，应变张量可以分解为应变偏张量和应变球张量：

将式（10-62）及式（10-63（a））代入上式，就可得到广义虎克定律的张量形式：

2.应变能

若物体在外力作用下产生弹性变形，设物体保持平衡且无温度变化，则外力所做的功将全部转换成弹性势能（位能）。弹性位能可以通过应力所做的功来计算。

如图10-25（a）所示，设一单元体在应力作用下发生弹性变形，单元体棱长为dx、dy及dz，它在x方向的正应变为εx，考虑到应力随应变线性增长，正应力分量σx所作的功为

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图10-25　单元体应力与变形的示意

（a）σx所作的功；（b）τzx所作的功

单位体积的弹性位能为

同样，如图10-25（b）所示，剪应力分量τzx对单位体积所作的弹性功为

其他应力分量所作的变形功也可同样处理。由此，单元体单位体积的变形功（即弹性位能）为

单位体积内总的弹性位能w可以分解为体积变化位能wV和形状变化位能wφ（弹性形变能），即

为了计算方便，选用主轴为坐标轴，则

将广义虎克定律式（10-60）代人式（10-65a），整理后得

单位体积的体积变化位能（由应力球张量引起）为

式中，又可用式（10-60）代入，将式（10-65c）简化为

将式（10-65c）、式（10-65d）代入式（10-65b），整理后得

将式（10-65e）与米塞斯屈服准则比较，若满足屈服准则，则有

式（10-65f）说明，单位体积的弹性形变能wφ达到常数时，该材料（质点）就开始进入屈服状态，故将米塞斯屈服准则简称为能量准则或能量条件。

设变形体体积为V，则整个变形体的弹性位能为

另外，当材料产生塑性应变增量时，考虑到时间dt内应力可以视为常量，故单位体积的塑性变形功增量dw可以由下式计算：

由于塑性应力—应变关系是非线性的，单位体积的塑性变形功w只能通过对dw的积分求得

由于塑性变形中体积不变，应力球张量不作功，上式又可以写成