真实应变及其应用举例

假设物体内两质点相距为l0，经变形后距离为ln，则名义线应变为

这种名义线应变一般用于小应变情况。在大的塑性变形过程中，名义线应变不足以反映实际的变形情况。因为中的基长l0是不变的，而在实际变形过程中，长度l0系经过无穷多个中间的数值逐渐变成ln的，如l0，l1，l2，l3…，ln-1，ln，其中相邻两长度相差均极微小，由l0到ln的总的变形程度，可以近似地看作是各个阶段名义应变之和，即

或用微分概念，设dl是每一变形阶段的长度增量，则物体的总的变形程度为

∈称为真实应变或对数应变。式（9-68）的积分在应变主轴方向不变的情况下才能进行。因此，对数应变可定义为：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变情况下应变增量的总和。

由于对数应变能够真实地反映变形的积累过程，所以也称真实应变，简称为真应变。与名义应变相比，真实应变具有误差小、可叠加、可比的特点，在大的塑性变形问题中，只有用真实应变才能得出合理的结果。真实应变与名义应变相比有如下特点：

（1）名义应变不能表示变形的实际情况，而且变形程度越大，误差也越大。如将真实应变用名义应变表示，并按泰勒级数展开，则有

由此可见，只有当变形程度很小时，ε才能近似等于∈，变形程度越大，误差也越大。用ε与∈计算得到的变形程度的结果如图9-29所示。当变形程度小于10%时，ε与∈的数值比较接近，但当变形程度大于10%以后，误差逐渐增加。

图9-29　与的关系

（2）真实应变为可叠加的应变，而名义应变为不可叠加的应变。假设某物体的原长为l0，经历l1、l2变为l3，总的名义应变为

各阶段的名义应变为

显然(www.xing528.com)

而用真实应变，则无上述问题，因为各阶段的真实应变为

且有

即真实应变为可叠加的应变，又称可加应变。

（3）真实应变为可比应变，名义应变为不可比应变。假设某物体由l0拉长1倍后，尺寸为2l0，其名义应变为

如果缩短一半，尺寸变为0.5l0，则其名义应变为

当物体拉长1倍与缩短一半时，物体的变形程度应该是一样的。然而如用名义应变表示拉、压的变形程度则数值相差悬殊，失去可以比较的作用。

而用真实应变表示拉、压两种不同性质的变形程度时，并不失去可以比较的性质。例如，在上例中，物体拉长1倍的对数应变为

缩短一半的对数应变为

采用对数应变表示体积不变条件则更为准确。设变形体的原始长、宽、高分别为l0、b0、h0，变形后为l1、b1、h1，则体积不变条件可表示为