平面变形问题与轴对称问题

1.平面变形问题

平面问题又分为平面应力问题和平面应变问题两类。其中平面应力问题已在前面介绍过，此处介绍平面应变问题。

如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形，而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或平面应变。发生变形的平面称为塑性流动平面。

设无变形的方向为坐标的z向，则z向必为应变主方向。z方向上的位移分量w=0，其余两个位移分量对z的偏导数必为零，故有εz=γxz=γyz=0，所以平面应变问题中只有3个应变分量，即εx、εy、γxy。

平面应变状态下的几何方程为

在塑性变形时，根据体积不变条件有

平面变形问题是塑性理论中最常见的问题之一，所以有必要进一步分析其应力状态。平面变形状态下的应力状态有如下特点：

（1）由于平面变形时，物体内与z轴垂直的平面始终不会倾斜扭曲，所以z平面上没有切应力分量，即τzx=τzy=0，z方向也必为应力主方向，σz即为主应力。下一章将证明，平面变形时σz为σx、σy的平均值，即为中间应力，又是平均应力，是一个不变量：

此时，只有3个独立的应力分量σx、σy、τxy。平面应变状态的应力张量为

（2）若以应力主轴为坐标轴，则有

(www.xing528.com)

上式中。由于上式中的偏应力，故为纯切应力状态。所以，平面变形时应力状态就是纯切应力状态叠加一个应力球张量。因此，它的应力莫尔圆（见图9-27）除圆心坐标为之外，与纯切应力状态下的应力莫尔圆是一样的。

图9-27　平面变形时的应力莫尔圆

（3）平面变形时，由于σz是不变量，而且其他应力分量都与z轴无关，所以应力平衡微分方程和平面应力状态下的应力平衡微分方程是一样的，即

平面变形状态下的主切应力和最大切应力为

式中，σ3=σm为中间主应力。

2.轴对称变形问题

采用圆柱坐标系（见图9-28）时，轴对称问题的几何方程为

图9-28　圆柱坐标系中的位移分量

在轴对称变形时，子午面始终保持平面，所以θ向位移分量v=0，且各位移分量均与θ坐标无关。因此，γρθ=γθz=0，所以θ向必为应变主方向，这时只有4个应变分量，几何方程为