电路功率与三相交流电的应用技术

一、正弦交流电路的功率

(一)正弦交流电路的功率

1.瞬时功率

在正弦交流电路中,电压和电流是按正弦规律不断变化的,我们把电压瞬时值u和电流瞬时值i的乘积称为瞬时功率,用小写字母表示,即

2.有功功率

由于瞬时功率时刻变动,不便计算,通常用一个周期内消耗的功率的平均值来表示功率的大小,称为平均功率。平均功率又称有功功率,用P表示,它是电压,电流有效值与功率因数的乘积,单位是瓦(W)。

3.无功功率

在正弦交流电路中,含有储能元件时,储能元件与外电路之间往返交换能量,通常用瞬时功率的最大值来反映其转换能量的规模,称为无功功率,用Q表示,单位为乏(var)。

无功功率并不是无用的功率,由它所建立的交变磁场,在电能的输送、电能转换的过程中具有极为重要的作用。因为很多电气设备(如常见的变压器、电动机等)都是靠磁场来传送和转换能量的。若没有无功功率,变压器就不能变换电压,也无法传送能量;没有无功功率,电动机就不能转动。因此,发电机除了发出一定的有功功率供给动力、生活等负荷外,还必须同时发出一定的无功功率供给电感负荷,以建立交变磁场。这样不仅可以满足供、用电设备运行的需要,对发电机、电网的稳定运行也是有利的。

4.视在功率

正弦交流电路中电压与电流的有效值的乘积称为视在功率,用S表示

视在功率的单位为伏安(VA)或千伏安(kVA)。一般变压器的容量是用视在功率表示的。

(二)功率因数

在功率三角形中,有功功率和视在功率的比值等于功率因数,即

因为发电机、变压器等电气设备的容量用视在功率表示时,等于额定电压和额定电流的乘积,即S=UI。在正常运行时,电流、电压应不超过其额定值,从而发电机、变压器所输出的有功功率则与负荷的功率因数有关,即

当S恒定时,若cosφ过低,则电源设备所输出的有功功率就要减少,使设备的容量不能得到充分利用。例如有一台S=50kVA的变压器,当cosφ=1时,输出的有功功率P=50×1=50kW;当cosφ=0.8时;P=50×0.8=40kW;当cosφ=0.6时;P=50×0.6=30kW。cosφ愈低,输出的有功功率愈少。

当负荷所需要的有功功率恒定时,cosφ愈低,线路上输送的无功功率就要愈多,从而使线路上的电流增大,造成线路的电压降和功率损耗增大。线路压降增大,使负荷端的电压太低,导致灯光变暗和电动机的转速下降,严重时还会烧毁电动机。线路功率损耗增大,造成电能的浪费,所以一定要注意适当提高负荷的功率因数。提高功率因数,可以减少设备容量,提高设备供电能力;降低线路损耗;改善电压质量;节省用电企业的电费开支。

(三)提高功率因数的常见方法

(1)使用电路电容器或调相机。

(2)在感性负载上并联电容器。

(3)调整生产班次,均衡用电负荷,提高用电负荷率。

(4)改善配电线路布局。

(5)避免电机或设备空载运行。

二、交流电路的电阻、电感、电容元件

由交流电源、负载、连接导线、开关等组成的电路称为交流电路。交流负载有纯电阻、纯电感、纯电容或其组合。电源中只有一个交流电动势的交流电路称为单相交流电路。

(一)电阻交流电路

实际应用的白炽灯、电烙铁、电阻器等可看成电阻元件。在电阻元件构成的交流电路中,电流和电压的频率相同,相位相同,完全符合欧姆定律,即

电阻电路的相量图和波形图,如图1-27所示。

任何瞬间电阻上所消耗的功率等于通过电阻的电流与加在电阻两端电压的瞬时值的乘积,即

从图1-27(c)可以看出,任一瞬间的功率数值都是正值,说明电阻电路中总是从电源吸取能量,也就是说电阻是一种耗能元件。

电阻元件的平均功率等于流过电阻的电流、两端施加的电压的有效值的乘积,即

图1-27　电阻电路的相量图和波形图

(a)电阻电路图;(b)相量图;(c)u、i、p波形图

图1-28　电感电路的相量图、波形图

(a)电感电路图;(b)相量图;(c)u、i、p波形图

(二)电感交流电路

实际应用中的荧光灯镇流器线圈、接触器的线圈、继电器的线圈、电动机的绕组等,若忽略它们的导线电阻,都可看成是电感元件。图1-28所示为纯电感电路及其相量图、波形图。

在电感交流电路中,电压和电流的有效值或最大值之比称为电感电抗,简称感抗,用XL表示,即

感抗XL和电阻R相似,在交流电路中都起阻碍电流通过的作用。XL的大小与电感L和频率f的乘积成正比,即

式中 L——绕组(线圈)的电感,H;

f——电源电压的频率,Hz;

ω——电源电压的角频率,rad/s;

XL——感抗,Ω。

从图1-28(c)中看出,电压和电流的频率相同,电压的相位超前于电流90°,用瞬时值表示为

从图1-28(c)中的功率波形图看出,瞬时功率是一个2倍于电压(或电流)频率的正弦曲线,且曲线的正、负半周完全对称。正值表示从电源吸取能量,负值表示向电源放出能量,从而得知电感元件从电源吸取的平均功率为零,即电感没有消耗能量,只是在电源和电感线圈之间有周期性的能量互换。因此,电感是一种储能元件。在电源和电感线圈之间互相转换功率的规模(瞬时功率的最大值)称为感性无功功率,用QL表示。

【例1-7】 有一线圈,电感L为10mH,电阻可忽略不计,将它接在电压u=311sinωt(V),频率为50Hz的电源上。试求线圈的感抗、电路中通过的电流、电路中的无功功率,并写出电流瞬时值的表达式。

解:线圈的感抗:XL=2πfL=2×3.14×50×0.01=3.14(Ω)

通过线圈的电流:

无功功率:

电流瞬时值的表达式:

(三)电容交流电路

任何两块靠近的金属导体(又称极板),中间用不导电的绝缘介质隔开,就形成了电容器。把电容器接在电源上,电容器中就储存了电荷。其两个极板总是分别带有电量相等的正、负电荷。表示电容器储存电荷电量能力的物理量,称为电容器的电容量(简称电容),用符号C表示。C值愈大,表明电容器所储存的电量愈多。用公式表示为

式中 Q——极板上的带电量,C;

U——两个极板之间的电压,V;

C——电容,F。

法拉(F)这个单位太大了,一般用微法(μF)或皮法(pF)做电容的单位。

1μF=10-6F;1pF=10-6μF=10-12F

电容交流电路中电压和电流的有效值(或最大值)之比等于电容电抗,简称容抗,用XC表示。

容抗在电路中也起阻碍电流的作用。XC的大小与电容C和频率f的乘积成反比,即

式中 C——电容元件的电容,F;

f——电源交流电压的频率,Hz;

ω——电源交流电压的角频率,rad/s;

XC——容抗,Ω。

图1-29　电容电路的相量图和波形图

(a)电容电路图;(b)相量图;(c)u、i、p波形图

电容元件中的电流与电压的频率相同,但电流的相位超前于电压90°,如图1-29所示。电容电路中电压电流的瞬时值为

从图1-29(c)看出,在电容电路中,其瞬时功率的频率也是两倍于电压(或电流)的频率,在一个周期内的平均值也等于零。说明电容电路中也不消耗能量,在电源和电容器间只有周期性的能量交换。它也是一个储能元件。这种互相转换功率的规模(最大值)称为电容性无功功率,用QC表示

QC的单位也是var(乏)。

【例1-8】 一只1μF的电容器两端加上正弦电压u=220(314t-30°)(V),求通过电容器中电流的有效值,并写出电流的瞬时值表达式。

解:电容器的容抗:

通过电容器电流的有效值:

电流的初相位φ=90°-30°=60°,则电流的瞬时值表达式为

三、电阻、电感、电容元件串联的正弦交流电路

电气设备的实际电路几乎都不是单一的电阻、电感或电容电路。最常见的是电阻与电感串联的电路,如电动机、变压器等。

在电阻、电感串联电路中,各元件上的电压和总电压的关系,如图1-30所示。

在电压u的作用下,通过R、L的电流为i,i与R上的压降uR同相位,i比L上的压降uL落后90°。画相量图时,以电流I·为参考相量,再画出电阻上的电压相量和电感上的电压相量,总电压U·等于和的相量和。从图1-30(b)可以看出,总电压U·与构成了一个直角三角形,称为电压三角形。其斜边为总电压U·,两直角边分别为,根据勾股定律可得

或 　

式中——交流电路的阻抗,用Z表示,阻抗的单位也是Ω。

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图1-30　电阻和电感串联电路

(a)电路图;(b)相量图

图1-31　阻抗、电压、功率三角形

(a)阻抗三角形;(b)电压三角形;(c)功率三角形

由上式看出,Z、R、XL之间也是一个直角三角形,称为阻抗三角形,如图1-31(a)所示。

从图1-31(b)可以看出,总电压和电流之间的相位差为φ,即总电压和电流之间的相位差由负荷电阻和感抗的大小决定。

在电阻、电感串联电路中的有功功率也是电阻上消耗的有功功率为

由电压三角形可知　

所以　

式中,cosφ称为电路的功率因数,可由阻抗三角形求得,其数值与负荷的阻抗参数有关。

在电阻、电感串联电路中的无功功率为

由电压三角形可知:　

所以　

在电阻、电感串联电路中的视在功率为

由视在功率S、有功功率P、无功功率Q组成的三角形,称为功率三角形,如图1-31(c)所示。视在功率为S=。

【例1-9】 有一个电阻R=6Ω,电抗L=25.5mH的线圈,串接于U=220V、50Hz的电源上,试求线圈的感抗XL、阻抗Z、电流I、电阻压降UR、电感压降UL、功率因数cosφ、有功功率P、无功功率Q和视在功率S。

解:由题意有

XL=2πfL=2×3.14×50×0.0255=8(Ω)

P=I2R=222×6=2904(W)=2.904(kW)

Q=I2XL=222×8=3872(var)=3.872(kvar)

S=UI=220×22=4840(VA)=4.48(kVA)

四、三相交流电动势

(一)三相交流电动势的产生

三相交流电动势是由三相交流发电机产生的,如图1-32所示三相交流发电机工作原理示意图。

图1-32　三相交流发电机工作原理示意图

由图1-32可知,三相交流发电机的构成与前述的单相交流发电机相比较,只不过是在磁场中的电枢上放置了三个在空间彼此相差120°、结构完全相同的绕组,一个绕组为一相。三个绕组的首端分别用U、V、W表示;末端分别用X、Y、Z表示。当电枢在外力作用下按逆时针方向旋转时,图1-32中UX绕组从水平位置开始切割磁力线,它的初相位为零,则UX绕组中产生感应电动势的瞬时值为:

VY绕组比UX绕组在空间上后移120°,绕组中产生的感应电动势的瞬时值为

WZ绕组比UX绕组在空间上后移240°或者说前移120°,绕组中感应电动势的瞬时值为

由于三个绕组结构相同,所以在三个绕组中感应电动势的最大值相等,即

EUm=EVm=EWm=Em

三个绕组以同一角速度在磁场中等速旋转,所以三个感应电动势的角频率相同。三个绕组在空间上互差120°,所以三个感应电动势的相位互差120°。

这样,三个最大值相等、角频率相同、相位互差120°的电动势,称为对称三相电动势。其相量图和波形图,如图1-33所示。

对称三相电动势的相量和等于零,即=0。

任一瞬间的代数和亦为零,即eU+eV+eW=0。

(二)相序

在实际应用中常说到相序这个名词。所谓相序是指三相交流电相位的顺序,它是三相电动势到达最大值的先后次序,习惯上用U-V-W表示。在确定相序时,可以先把任何一相定为U相,另外两相中比U相落后120°的就是V相(滞后相),比U相超前120°的就是W相(超前相),这种相序排列叫做正相序。通常在电源母线上用黄、绿、红三种颜色分别表示U、V、W三相。

图1-33　对称三相电动势的相量图和波形图

(a)相量图;(b)波形图

五、三相电源和负载的连接

(一)三相电源和三相负载的基本连接方式

在三相电路中,电源和负载均有星形和三角形两种基本连接方式。习惯中将星形连接用英文字母“Y”表示,三角形连接用希腊字母“Δ”表示。

1.电源绕组的连接方式

(1)电源星形连接。所谓星形连接,就是将电源三相绕组的末端连接在一起,成为一个公共点,称为中性点,用字母N表示中性点。从中性点引出的导线称为中性线,也用字母N表示。从每相绕组的首端引出的导线称为相线,用L表示,依其相序分别用U、V、W表示电源三相,用L1、L2、L3表示导线三相,如图1-34所示。

图1-34中,每相绕组首末两端之间的电压,称为相电压,如uU、uV、uW。正常情况下各相电压与相应的各相电动势基本相等。所以三个相电压也是对称的,且三个相电压的有效值大小相等。两相线之间的电压,或两绕组首端与首端之间的电压,称为线电压,如uUV、uVW、uWU。经分析和实测得知,当电源电压对称且接称星形时,线电压等于相电压的倍,各线电压超前相应相电压30°,uUV超前uU30°,uVW超前uV30°,uWU超前uW30°。三个线电压之间的相位差也都是120°。因此,三个线电压也是对称的。电源星形连接时,相电压和线电压的相量图如图1-34(b)所示。

图1-34　三相电源绕组的星形连接

(a)电路图;(b)相电压与线电压的相量图

配电变压器的低压侧三相绕组一般采用星形连接,低压侧的相电压是220V,线电压是380V。用三相三线制(三根相线)三相四线制(三根相线和一根中性线)向负荷供电。380V电压可给三相电动机供电,220V电压可给电灯等单相负载供电。

图1-35　三相电源绕组的三角形连接

(2)电源三角形连接。所谓三角形连接,是将电源三相绕组中一相绕组的末端与另一相绕组的首端依次连接成闭合回路,例如X接V,Y接W,Z接U,连接成一个闭合的三角形,再从三个连接点引出三根导线,用三相三线制电路给负荷供电,如图1-35所示。

三角形连接时的相电压等于线电压。

2.负载的连接方式

三相负荷也是采用星形或三角形连接,连接的方法与电源相同。星形连接时,将各相负荷的首端分别接在电源的相线上,末端连接在一起。三角形连接时,将各相负荷跨接在电源的两根相线之间。究竟采用哪种接法,要根据负荷的额定电压和电源电压来确定,如图1-36所示。

图1-36　负荷的连接方式

(a)单相负荷的Y连接;(b)三相负荷Y连接;(c)三相负荷的Δ连接;(d)单相负荷Δ连接

如果负荷的额定电压等于电源的相电压,三相负荷应接成星形,如图1-36(b)所示;如果负荷的额定电压等于电源线电压,三相负荷应接成三角形,如图1-36(c)所示;对于单相负荷,可按负荷的额定电压等于电源相电压或线电压的原则,接在电源相电压或线电压上,如图1-36(a)、(d)所示。为了使三相电源电压对称,单相负荷应尽量均匀的分接在三相电源上,使电源的三相负荷尽可能平衡。

(二)三相电路的基本连接方式

1.三相三线制

图1-37　三相三线制电路

若三相负荷的XU=XV=XW=X,RU=RV=RW=R,则称为三相对称负荷。如将三相对称负荷接于三相四线制电路中,三相负荷上的电压及电流都是对称的,相位互差120°。三相电流的相量和为零。因此,可将中性线去掉,并不影响电路的运行、分析和计算。图1-37所示的三相三线制电路,适用于给三相对称负荷(如三相电动机等)供电,在工、农业生产中应用极广。

由于三相三线制电路三相电流对称,所以电路的计算可简化单相电路计算。应用U/Z及cosφ=R/Z先算出一相的电流及相位,然后根据三相对称关系即可得知其他两相的电流及相位。

【例1-10】 有一星形连接的三相对称负荷,接于三相三线制电路中,每相电阻R=6Ω,电感电抗XL=8Ω,电源线电压为380V,求各相负荷电流的有效值,并写出各相电流顺时针表达式,画出电压、电流相量图。

解:由于该电路是对称的三相三线制电路,所以相电压

各相电流有效值为

IU=IV=IW=22(A)

各相电流和电压之间的相位差为

设以U相电压为参考正弦量,则各相电流顺时针为

电流、电压相量图,见图1-38所示。

图1-38　例1-10图

2.三相四线制

三相四线制电路如图1-39所示,ZU、ZV、ZW分别为各相负荷的阻抗。各相负荷承受的电压称为负荷的相电压。流过各相负荷的电流称为负荷的相电流。流过中性线的电流称为中性线电流。它们的正方向如图1-39(a)所示。

相电流的计算分别为

各相负荷的相电压与相电流之间的相位差可按下式计算

【例1-11】 如图1-39(a)所示,有三个单相负荷RU=5Ω,RV=10Ω,RW=20Ω,接于三相四线制电路中,电源三相对称相电压UPh=220V,试求各相电流和中性线电流。

解:如图1-39(a)所示。各相电流如下

中性线电流为三相电流之相量和,即

采用画出相量图的方法求出中性线电流。如图1-39(b)所示,首先按比例画出三相相电压,然后画出各相电流,采用平行四边形法则,画出中性线电流,量取长度,乘以比例即为中性线电流值。

IN=29(A)

图1-39　三相四线制电路图