小波能量谱与功率谱

在信号分析中，信号的能量是非常重要的一个概念。根据Parseval定理，如果X（ω）是x（t）的Fourier变换，则以下等式成立：

小波最大的优势就是具有多分辨分析功能，在前面章节中分别从函数空间和频率空间对其进行了详细的说明。将小波进行对尺度分解后，它的能量又该如何表示呢？在完成多分辨率分解后，信号被分解在不同尺度下，即不同频率空间。与Fourier频域变化不同，在小波变换下，可以将信号剖分在不同区域，然后就像用一个数字显微镜一样，仔细观察不同尺度下信号的分布情况。

信号的平移不变性在故障模式识别过程中相当重要。即当模式平移后，它所表示的结果也应该相应被平移。连续小波变换具有平移不变性，但是连续小波变换的计算量太大，不适合工程运用。离散小波又不具有平移不变性，为此在5.3.5小节引入了二进小波。因为二进小波变换时只是对尺度进行离散化了，而平移参数还是保持连续，所以它保持了平移不变性。在分析振动数据过程中，本书采用是二进小波进行计算。

小波能量就是将信号进行小波变换后，在各个分辨率下小波系数的平方之和。从式（5-36）可知，cA是信号f（t）进行多分辨小波分解时离散平滑逼近，它是尺度系数；cD是离散细节信号，它也就是小波变换的系数，结合式（5-19）下面等式成立：

从上式可以推出(www.xing528.com)

为二进小波变换能量时谱，该时谱能够反映出信号能量在不同尺度j下能量在时间轴上的集中程度。将式（5-49）进行Fourier变换可得

式（5-50）称为二进小波变换能量频谱。在实际工程计算中，为了计算方便通常采用功率谱表示信号在频域中的变化过程，功率谱计算结果为实数。本书中采用周期图法计算功率谱，它是在Fourier变换后再对其幅值进行平方，除以数据长度N。如果对式（5-50）计算功率谱就能够得到二进小波各分解层cD的功率谱，如式（5-51）：

二进小波的能量时谱和功率谱详细地反映出振动信号能量在不同尺度中的变化情况，同时还能够分析出能量集中的主要频段。这些特性对故障特征的提取非常有用，尤其在处理微弱故障振动信号时，小波能量谱比单纯小波变换的更有优势。