时频联合分析的方法优化

Fourier变换已经成为重要的信号分析处理工具，但是在使用过程中它的不足之处也暴露出来，主要有以下三个不足：第一，Fourier变换过程中会损失掉时间信息，它不能同时进行时频分析。第二，Fourier变换理论上只能适合于平稳信号，即信号频率不会随着时间而变化，不能直接用于频率会随着时间变化的非平稳信号。第三，Fourier变换时频分辨率相互制约，两者不能够同时到达最好的效果。学者们为了克服Fourier变换的不足，提出了不少时频分析方法。这里介绍其中比较有影响的几种时频分析方法。

1.短时Fourier变换

1946年，Gabor首次提出了STFT的概念。STFT是在Fourier变换基础上的一种延续。它的中心思想类似于Fourier变换，STFT是将非平稳信号在时间上分解为一系列时间段，每个时间段的时间都比较短，因此被包含在这个短时间段内的信号可近似为平稳信号。这样就可以将非平稳信号看成是一系列短时平稳信号的组合叠加。STFT实质上就是在时域上加窗函数，当窗不断在时间轴上平移时就将信号分段截取为一个个小窗口，然后对每个窗口中的信号进行Fourier变化将能表示出信号的时频特性。STFT定义如下：

从式中可以看到，STFT用基函数g（t-τ）ejωt代替了Fourier变换的基函数ejωt，其中ejωt是对频域计算，而g（t-τ）是对时域进行计算，它们一起就可以同时对时频信号进行分析。

图4-2　STFT变换原理图

由图4-2可知，STFT用窗函数将信号划分为一系列局部信号，然后对每个局部信号进行Fourier变换。通过不断移动窗函数就可以得到不同时刻信号的Fourier变换。STFT变换的结果就是这些Fourier变换的集合。在STFT中窗函数所起的作用相当重要，常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗和高斯窗等。

2.Wigner-Ville变换

1932年，诺贝尔物理学奖得主尤金·保罗·维格纳（Wigner）首次提出了Wigner-Ville分布原型（Wigner-Ville Distribution，简称WVD）概念，后来由Ville将这一思想引入到信号处理中。Wigner-Ville分布的有如下两种等价关系：

式中*——复共轭；

X——频谱。

WVD分布首先对信号在时域进行计算，计算某一时刻点历史以及未来的数据，然后将计算结果进行Fourier变换。因此，只要在信号时刻点左右两边数据存在重叠，信号在该点的WVD就不为零。WVD的计算会涉及过去和未来时刻的数据值。从物理意义上看，WVD表示的是信号在时域和频域平面空间上的二维能量分布。与STFT相比，它具有分辨率高、能量集中表示以及能反映信号的瞬时频率的特点。

Winger-Ville有一个不足之处，即它会产生交叉干扰。产生交叉干扰是由于WVD不满足可加性产生的。例如两个信号x1（t）、x2（t）之和的Wigner分布如下：

3.小波变换

小波变换从根源上追溯也是Fourier分析的延伸。1909年，德国数学家Haar提出了小波规范正交基，构造了最简单的小波——Haar小波。1984年，小波变换概念是由法国工程师Morlet正式提出。当时他在实际工作中处理数据时发现STFT分析中的不足之处，即在进行时频计算时必须选用固定的一种时间窗函数，这样就不能根据信号的时变性得到时频最佳分辨率。因此他想到了用不同窗函数对不同频率段的信号进行分析。后来，Mallat和Meyer在此基础上提出了多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis，简称MRA）。(www.xing528.com)

Fourier变换将时间信号分解成为一系列频率不同的正弦波的组合叠加。小波变换是把信号分解成为一系列小波函数的组合叠加。小波变换可以对信号进行更加准确和细致地刻画。尤其对信号局部特征地描述非常准确，这种优势正是故障模式识别所需要的。

式中　a——尺度参数；

b——平移参数；

ψ——母小波（Mother Wavelet）。

小波具有“变焦”功能，能够对信号进行局部“放大”。它能够在平移扫描过程中改变窗口函数的特性进行时频分析处理。关于小波变换是本书的重点，将在第5章进行详细描述。

4.Hilbert-Huang变换

Hilbert-Huang变换（HHT）称为希尔伯特-黄变换，它是由NASA华裔科学家黄鳄教授首次提出，他是美国国家工程学院院士，2003年荣获NASA发明奖。HHT是在德国著名数学家Hilbert建立的数学理论基础上发展起来，HHT主要用于分析处理非平稳或者非线性信号。它主要由两大部分构成，经验模式分解（Empirical Mode Decomposition，简称EMD）和Hilbert变换。HHT在进行数据分析时首先将时域数据进行经验模态分解，分解成本征模函数（Intrinsic Mode Function，简称IMF），然后对IMF分量进行Hilbert变换得到瞬时频率，最后将这些瞬时频率组合到一起就可以得到信号的频谱。

黄鳄给出了IMF的解释，一个IMF必须满足两个条件：第一个条件是在全部数据中极值点数量必须与过零点数量相等或者最多相差一个；第二个条件是任意数据点中的局部最大值与局部最小值的包络平均值为零。第一个条件与传统平稳高斯信号窄带要求相似，第二个条件具有创新理念，它可以使信号的波形保持对称，这样可以消除瞬时频率不必要的波动。

时间序列信号经过分解后产生IMF和残余量，表示如下：

然后，对每个IMF分量进行Hilert变换，忽略残余量，只取实部可得：

式（4-24）称为Hilbert谱，记为：

它的边际谱为

以上变换分析方法就是HHT。HHT是一种很好的时频分析工具，但是因为发展时间不长，HHT在实际应用中还存在一些问题，如在计算信号包络时端点会产生振荡，这样会产生伪本征模分量，尤其是对低频成分信号影响更加严重。有些理论问题还需要进一步完善。