信道编码的目的和分类优化方案

在数字信号传输中，由于信道不理想以及加性噪声的影响，被传输的信号码元波形会变坏，造成接收端错误判决。为了尽量减小数字通信中信息码元的差错概率，应合理设计基带信号并采用均衡技术以减小信道线性畸变引起的码间干扰；对于由信道噪声引起的加性干扰，应考虑采取加大发送功率、适当选择调制解调方式等措施。但是随着现代数字通信技术的不断发展，以及传输速率的不断提高，对信息码元的差错概率P_e的要求也在提高，例如计算机间的数据传输，要求P_e低于10^-9，并且信道带宽和发送功率受到限制，此时就需要采用信道编码，又称为差错控制编码。信道编码理论建立在香农信息论的基础上，其实质是给信息码元增加冗余度，即增加一定数量的多余码元（称为监督码元或校验码元），由信息码元和监督码元共同组成一个码字，两者间满足一定的约束关系。如果在传输过程中受到干扰，某位码元发生了变化，就破坏了它们之间的约束关系。接收端通过检验约束关系是否成立，完成识别错误或者进一步判定错误位置并纠正错误，从而提高通信的可靠性。

用不同的方法可以对差错控制编码进行不同的分类。

（1）根据已编码组中信息码元与监督码元之间的函数关系，可分为线性码及非线性码。

若信息码元与监督码元之间的关系呈线性，即满足一组线性方程式，则称为线性码。否则称为非线性码。

（2）根据信息码元和监督码元之间的约束方式不同，可分为分组码和卷积码。

分组码的监督码元仅与本码组的信息码元有关，卷积码的监督码元不仅与本组信息码元有关，而且与前面若干码组的信息码元有约束关系。

（3）根据编码后信息码元是否保持原来的形式，可分为系统码和非系统码。

在系统码中，编码后的信息码元保持原样，而非系统码中的信息码元则改变了原来的信号形式。

（4）根据编码的不同功能，可分为检错码、纠错码和纠删码。

检错码只能够发现错误，但不能纠正错误；纠错码能够纠正错误；纠删码即可以检错又可以纠错，但纠错能力有限，当有不能纠正的错误时将发出错误指示或删除不可纠正的错误段落。

（5）根据纠正、检验错误的类型不同，可分为纠正、检验随机性错误的码和纠正、检验突发性错误的码。

（6）根据码元取值的不同，可分为二进制码和多进制码。这里只介绍二进制纠检错编码。

信号经信道编码后比特率增大了，这是因为对信源编码后的信号进行了差错控制编码的结果。所增加的比特数，可形象地看作是对原数据信号的保护。若设信道编码器输入端的数据率为n，编码后输出的数据率为m，则R=n/m称为信道编码的编码率。由于m>n，因此，R<1。编码率R越小，说明加入的保护比特越多，相应地，保护能力越强，信号传输的可靠性越高，但同时数据率增大的也越多。因此，在系统容量已非常紧张时，应根据所传输比特的重要程度选择不同的保护程度，这样可有效地减少由信道编码所增加的比特数。

下面以一个简单的例子来说明差错控制编码具有差错控制能力的原理。

假设待传输的信息序列为1011010，如果将此序列直接传输，接收端无法根据收到的数字序列判断是否存在误码。如果在发送端对信息序列进行编码，例如，在每个信息码元之后附加一位监督码，且监督码与信息码元相同（称为重复编码），则得到如下的编码序列11、00、11、11、00、00、00，此编码序列就是一个每组只有两个码元的分组码，且是线性分组码。如果每组最多只有一个码元在传输时发生误码，例如，第一组11出现了一个误码，成为10。由于在发送端输出的码元中不可能有这样码组，因此，接收端可检测到出现了误码。但是，接收端并不能进行纠错，因为它不能判断是哪一位码元出现了误码。因此，上面的编码只具有检测一位错误的能力，而不具有纠正错误的能力，所以是检错码。

对上面待传输的序列1011010进行两位重复编码，则得到如下的编码序列111、000、111、111、000、111、000，若接收端收到一个010码组，则可判断出此码组有误码，如果每组最多只有一位误码，接收端依据最大似然法则，判断出是第二个码元发生了错误，即可予以纠正。若每组最多有两个误码，接收端也可检测到有误码，但不能判断是哪一位发生了错误，因此，不能进行纠错。显然，上面的两位重复编码具有发现两位误码的能力，或纠正一位误码的能力。

线性分组码的检、纠错能力，与许用码组（编码后可能出现的码组）之间的最小汉明距d_min（简称最小码距）有关。汉明距是指两个许用码组对应码位上码元不同的位数。上面两位重复编码的许用码组是111和000，它们的汉明距是3。(www.xing528.com)

线性分组码的最小码距d_min越大，则检、纠错能力越强。d_min与差错控制编码的检错和纠错能力的关系如下。

根据以上分析可知，编码的最小码距直接关系到这种码的检错和纠错能力，所以最小码距是差错控制编码的一个重要参数。对于分组码一般有以下结论：

（1）在一个码组内检测e个误码，要求最小码距为

d_min≥e+1 （1-5-1）

（2）在一个码组内纠正t个误码，要求最小码距为

d_min≥2t+1 （1-5-2）

（3）在一个码组内纠正t个误码，同时检测e（e≥t）个误码，要求最小码距为

d_min≥t+e+1 （1-5-3）

这些结论可以用图1-5-3所示的几何图形简单地给予证明。

图1-5-3a中C表示某码组，当误码不超过e个时，该码组的位置移动将不超出以它为圆心，以e为半径的圆。只要其他任何许用码组都不落入此圆内，则C发生e个误码时就不可能与其他许用码组混淆。这意味着其他许用码组必须位于以C为圆心，以e+1为半径的圆上或圆外。因此该码的最小码距d_min为e+1。

图1-5-3 码距与检错和纠错能力的关系

图1-5-3b中C₁、C₂分别表示任意两个许用码组，当各自误码不超过t个时，发生误码后两码组的位置移动将各自不超出以C₁、C₂为圆心，t为半径的圆。只要这两个圆不相交，当误码小于t个时，根据它们落在哪个圆内可以正确地判断为C₁或C₂，就是说可以纠正错误。以C₁、C₂为圆心的两圆不相交的最近圆心距离为2t+l，即为纠正t个误码的最小码距。

式（1-5-3）所述情形中纠正t个误码同时检测e个误码，是指当误码不超过t个时能自动纠正误码，而当误码超过t个时则不可能纠正错误但仍可检测e个误码。图1-5-3c中C₁、C₂分别为两个许用码组，在最坏情况下C₁发生e个误码，而C₂发生t个误码，为了保证此时两码组仍不发生混淆，则要求以C₁为圆心，e为半径的圆必须与以C₂为圆心，t为半径的圆不发生交叠，即要求最小码距d_min≥t+e+1。

可见d_min体现了码组的纠、检错能力。码组间最小距离越大，说明码字间最小差别越大，抗干扰能力就越强。

由于编码系统具有纠错能力，因此在达到同样误码率要求时，编码系统会使所要求的输入信噪比低于非编码系统，为此引入了编码增益的概念。其定义为在给定误码率下，非编码系统与编码系统之间所需信噪比E_b/N₀之差（用dB表示）。采用不同的编码会得到不同的编码增益，但编码增益的提高要以增加系统带宽或复杂度来换取。