线性系统的数学模型M.3.1优化

Matlab控制系统工具箱中包括一些有用的命令，它们使线性系统的一种数学模型转换成另外一种数学模型。这些线性系统变换对于求解控制工程模型十分有用。

（1）从传递函数到状态空间

命令

[A，B，C，D]＝tf2ss（num，den）

可以把传递函数形式表示的系统

变换成状态空间形式

（2）从状态空间到传递函数

如果系统是单输入/单输出系统，则命令

[num，den]＝ss2tf（A，B，C，D）

将给出传递函数Y（s）/U（s）。

如果系统是多输入/多输出系统，利用以下命令

[num，den]＝ss2tf（A，B，C，D，iu）

将计算出状态空间表达式

对应的传递函数Y（s）/Ui（s）

下标“i”表示系统的第i个输入量。

例M-1 考虑两输入单输出系统的状态空间描述

试求传递函数Y（s）/U1（s）和Y（s）/U2（s）。

解 Matlab程序及运行结果如下

由Matlab输出，得到

（3）传递函数的部分分式展开

考虑下列传递函数

式中，a（1）≠0，但是a（i）和b（j）中某些量可能为零。

行向量num和den表示传递函数的分子和分母的系数，即

num＝[b（1）b（2） b（n）]

den＝[a（1）a（2）⋯a（n）](www.xing528.com)

命令

[r，p，k]＝residue（num，den）

将求出两个多项式B（s）和A（s）之比的部分分式展开的留数、极点和直接项。B（s）/A（s）的部分分式由下式给出

例M-2 试求以下传递函数的部分分式表达式

解 此时对应的num和den分别为

num＝[2 5 3 6]

den＝[1 6 11 6]

相应的Matlab命令

[r，p，k]＝residue（num，den）

运行结果如下

由此可得上述问题的解为

命令

[num，den]＝residue（r，p，k）

将把部分分式展开式转换回多项式B（s）/A（s）之比。式中，r，p，k意义同前。

（4）从连续时间系统转换到离散时间系统

命令

[G，H]＝c2d（A，B，Ts）

在零阶保持器作用于输入量的假设前提下，可以将状态空间模型从连续时间转换成离散时间。命令中Ts为采样周期（s）。这就是说，可以将

转换成

x（k＋1）＝Gx（k）＋Hu（k）

例M-3 求下列连续状态空间模型

在采样周期Ts＝0.05s时的离散状态空间模型。

解利用命令[G，H]＝c2d（A，B，Ts），可以求得一个等效的离散时间模型，相应的Matlab程序和运行结果如下

由此可得等效离散时间状态空间模型为