稳定鲁棒性分析方法在状态方程存在不确定性时的应用

考虑具有如下不确定性的被控对象

其中xp（t）是n维的状态向量，u（t）是m维的控制向量，y（t）是l维的输出向量；Ap， Bp，Cp，Dp是已知的具有适当维数的常数矩阵，且（Ap，Bp）完全可控制，（Cp，Ap）完全可观测；A△，B△，C△，D△是具有适当维数的常数或者时变矩阵，表示系统的不确定性并且满足关系

∣∣A△xp（t）∣∣≤βA∣∣xp（t）∣∣，∣∣B△u（t）∣∣≤βB∣∣u（t）∣∣

∣∣C△xp（t）∣∣≤βC∣∣xp（t）∣∣，∣∣D△u（t）∣∣≤βD∣∣u（t）∣∣ （10-15）

其中xp（t）表示状态向量xp（t）各分量的绝对值之和，其他∣∣u（t）∣∣，∣∣A△xp（t）∣∣，∣∣B△u（t）∣∣，∣∣C△xp（t）∣∣，∣∣D△u（t）∣∣的意义与之相同。

反馈控制器取为

其中xc（t）是q维的控制器状态向量，Ac，Bc，Kp，Kc是已知的具有适当维数的常数矩阵。当Kp＝0时，上式是单一的动态输出反馈控制器；而当Kc＝0时，上式退化为普通的状态反馈控制器u（t）＝Kpxp（t）。若控制器式（10-16）不仅能使标称的闭环系统稳定，并且能保持实际的不确定性系统（10-14）也稳定，则闭环系统具有稳定鲁棒性。

将式（10-16）代入式（10-14），得到闭环系统的状态方程为

其中

被控对象无参数不确定性时（A△＝B△＝C△＝D△＝0），闭环系统的状态转移矩阵为，若系统稳定则存在常数m，a＞0使下式成立

将视为闭环系统（10-17）的输入，则闭环系统的状态响应为

于是有

由式（10-15）、式（10-16）和式（10-17）可有

记ρA＝βA＋（βB＋βD∣∣Bc∣∣）·∣∣[KpKc]∣∣＋βC∣∣BC∣∣，则有其中∣∣Bc∣∣和∣∣[KpKc]∣∣的定义与式（10-18）类似。同样的还可有

其中ρC＝βC＋βD∣∣[KpKc]∣∣。

将式（10-18）和式（10-21）代入式（10-20）得到

于是有

根据Bellman-Gronwall引理[1]，有

于是

由式（10-17）、式（10-22）和式（10-24）有(www.xing528.com)

由式（10-17）、式（10-24）和式（10-25）可知，若设计控制器（10-16）能够使得闭环系统矩阵的特征值都具有负实部，即，并且成立关系，则闭环系统对于模型摄动A△，B△，C△，D△具有稳定鲁棒性。

例10-5 已知动态系统的线性数学模型为

控制器为

若系统矩阵存在偏差

试分析闭环系统的稳定鲁棒性。

解 由给定的参数有

∣∣A△xp（t）∣∣≤0.46∣∣xp（t）∣∣

于是有

βA＝0.46，βB＝0，βC＝0，βD＝0

ρA＝βA＋（βB＋D∣∣Bc∣∣）∣∣[KpKc]∣∣＋βC∣∣BC∣∣＝βA＝0.46

闭环系统为

闭环系统的特征值为﹣3，﹣4，﹣6，﹣8。状态转移矩阵为

图10-9中sum1，sum2，sum3，sum4分别是状态转移矩阵Φ（t）各列元素绝对值之和随时间变化的曲线，与3.61e﹣1.7t的曲线相比之后可知有如下关系成立。

图10-9 状态转移矩阵各列元素绝对值之和随时间变化的曲线

于是有a＝1.7，m＝3.61，成立关系，闭环系统对于模型摄动A△具有稳定鲁棒性。

由式（10-26）可知实际的闭环系统矩阵为

它的特征值为﹣2.0328，﹣7.6051，﹣6.1800，﹣4.6020，实际闭环系统稳定。

[1]Bellman-Gronwall引理：设f（t），x（t）是[t0，∞）上的连续函数，而M，N是非负常数，若则有