【摘要】：为了阐明可控性和可观测性之间明显的相似性，这里将介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理。以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2w＝BTz式中，z∈Rn，v∈Rm，w∈Rr，AT∈Rn×n，CT∈Rn×m，BT∈Rr×n。对偶原理：当且仅当系统S2状态可观测时，系统S1才是状态可控的。对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检验和判断。简单地说，对偶性有如下关系
下面讨论可控性和可观测性之间的关系。为了阐明可控性和可观测性之间明显的相似性，这里将介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理。
考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1
式中，x∈Rn，u∈Rr，y∈Rm，A∈Rn×n，B∈Rn×r，C∈Rm×n。
以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2
w＝BTz
式中，z∈Rn，v∈Rm，w∈Rr，AT∈Rn×n，CT∈Rn×m，BT∈Rr×n。
对偶原理：当且仅当系统S2状态可观测（状态可控）时，系统S1才是状态可控（状态可观测）的。为了验证这个原理，下面写出系统S1和S2的状态可控和可观测的充要条件。
对于系统S1：
①状态可控的充要条件是n×nr维可控性矩阵
[B AB ⋯An－1B]
的秩为n；
②状态可观测的充要条件是n×nm维可观测性矩阵(www.xing528.com)
[CT ATCT⋯（AT）n－1CT]
的秩为n。
对于系统S2：
①状态可控的充要条件是n×nm维可控性矩阵
[CT ATCT⋯（AT）n－1CT]
的秩为n；
②状态可观测的充要条件是n×nr维可观测性矩阵
[B AB ⋯An－1B]
的秩为n。
对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检验和判断。
简单地说，对偶性有如下关系
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