线性定常连续系统的可观测性分析

（1）可观性定义

现在讨论线性系统的可观测性。考虑零输入时的状态空间表达式

式中，x∈Rn，y∈Rm，A∈Rn×n，C∈Rmxn。

如果每一个状态x（t0）都可通过在有限时间间隔t0≤t≤t1内，由y（t）观测值确定，则称系统为（完全）可观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设t0＝0。

可观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是可观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。

在下面讨论可观测性条件时，将只考虑由式（9-97）和式（9-98）给定的零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表达式

则

从而

由于矩阵A，B，C和D均为已知，u（t）也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y（t）中消去。因此，为研究可观测性的充要条件，只考虑式（9-97）和式（9-98）所描述的零输入系统就可以了。

（2）定常系统状态可观测性的代数判据

考虑由式（9-97）和式（9-98）所描述的线性定常系统。将其重写为

y＝Cx

易知，其输出向量为

y（t）＝Ce Atx（0）

将e At写为A的有限项的形式，即

因而

或

y（t）＝α0（t）Cx（0）＋α1（t）CAx（0）＋⋯＋αn－1（t）CAn－1x（0）（9-99）

显然，如果系统是可观测的，那么在0≤t≤t1时间间隔内，给定输出y（t），就可由式（9-99）惟一地确定出x（0）。可以证明，这就要求nm×n维可观测性矩阵

的秩为n。

由上述分析，可将可观测的充要条件表述为：由式（9-95）和式（9-96）所描述的线性定常系统，当且仅当n×nm维可观测性矩阵

RT＝[CT ATCT⋯（AT）n－1CT]

的秩为n，即rankRT＝n时，该系统才是可观测的。(www.xing528.com)

例9-23 试判断由式

所描述的系统是否为可控和可观测的。

解 由于可控性矩阵

的秩为2，即rankQ＝2＝n，故该系统是状态可控的。

对于输出可控性，可由系统输出可控性矩阵的秩确定。由于

Q′＝[CB CAB]＝[01]

的秩为1，即rankQ′＝1＝m，故该系统是输出可控的。

为了检验可观测性条件，先来验算可观测性矩阵的秩。由于

的秩为2，rankRT＝2＝n，故此系统是可观测的。

（3）用传递函数矩阵表达的可观测性条件

类似地，可观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时可观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不可观测了。

例9-24 证明下列系统是不可观测的。

式中

解 由于可观测性矩阵

注意到

即rankRT＜3＝n，故该系统是不可观测的。

事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于X1（s）和U（s）之间的传递函数为

又Y（s）和X1（s）之间的传递函数为

故Y（s）与U（s）之间的传递函数为

显然，分子、分母多项式中的因子（s＋1）可以约去。这意味着，该系统是不可观测的，或者说一些不为零的初始状态x（0）不能由y（t）的量测值确定。

当且仅当系统是状态可控和可观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。