计算矩阵指数函数eAt的方法

前已指出，状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数e At。如果给定矩阵A中所有元素的值，Matlab将提供一种计算e AT的简便方法，其中T为常数。

除了上述方法外，对e At的计算还有几种分析方法可供使用。这里将介绍其中的四种计算方法。

（1）直接计算法（矩阵指数函数）

可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。

（2）对角线标准形与Jordan标准形法

若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么e At可由下式给出

式中，P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。

类似地，若矩阵A可变换为Jordan标准形，则e At可由下式确定出

e At＝Se JtS﹣1 （9-73）

例9-16 考虑如下矩阵A

解 该矩阵的特征方程为

∣λI－A∣＝λ3－3λ2＋3λ－1＝（λ－1）3＝0

因此，矩阵A有三个相重特征值λ＝1。可以证明，矩阵A也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。易知，将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为

矩阵S的逆为

于是

注意到

可得

e At＝SeJtS﹣1

即

（3）拉氏变换法

eAt＝L﹣1[（sI－A）﹣1]（9-74）

为了求出e At，关键是必须首先求出（sI－A）的逆。一般来说，当系统矩阵A的阶次较高时，可采用递推算法。

例9-17考虑如下矩阵A

试用前面介绍的两种方法计算e At。

解 ①对角矩阵法由于A的特征值为0和﹣2（λ1＝0，λ2＝﹣2），故可求得所需的变换矩阵P为

因此，由式（9-72）可得

②拉氏变换法 由于

可得

因此(www.xing528.com)

（4）化e At为A的有限项法（凯莱-哈密尔顿定理法）

利用凯莱-哈密尔顿定理，化e At为A的有限项，然后通过求待定时间函数获得e At的方法。这种方法相当容易，而且计算过程简单。

设A的最小多项式阶数为m。可以证明，采用赛尔维斯特内插公式，通过求解行列式

即可求出e At。利用式（9-75）求解时，所得e At是以Ak（k＝0，1，2，⋯，m－1）和eλt（i＝1，2，3，⋯，m）的形式表示的。

此外，也可采用如下等价的方法。

将式（9-75）按最后一行展开，容易得到

e At＝α0（t）I＋α1（t）A＋α2（t）A2＋⋯＋am－1（t）Am－1（9-76）

从而通过求解下列方程组

可确定出αk（t）（k＝0，1，2⋯，m－1），进而代入式（9-76）即可求得Ate。

如果A为n×n维矩阵，且具有相异特征值，则所需确定的αk（t）的个数为m＝n，即有

e At＝α0（t）I＋αl（t）A＋α2（t）A2＋⋯＋an－l（t）An－1（9-78）

如果A含有相重特征值，但其最小多项式有单根，则所需确定的ak（t）的个数小于n，这里将不再进一步介绍。

例9-18考虑如下矩阵A

试用化e At为A的有限项法计算e At。

解矩阵A的特征方程为

det（λI－A）＝λ（λ＋2）＝0

可得相异特征值为λl＝0，λ2＝﹣2。

由式（9-75），可得

即

将上述行列式展开，可得

﹣2e At＋A ＋2I－Ae﹣2t＝0

或

另一种可选用的方法是采用式（9-76）。首先，由

确定待定时间函数α0（t）和α1（t）。由于λ1＝0，λ2＝﹣2，上述两式变为

α0（t）＝1

α0（t）－2α1（t）＝e﹣2t

求解此方程组，可得

因此