将传递函数转换成状态空间描述的优化方法

（1）设控制系统的闭环传递函数为

令上式中

按下式选取x1，x2，⋯，xn为状态变量，即

上式中，e（t）为E（s）的反拉氏变换，也即变量E（s）的时域表示。将式（9-25）进行反拉氏变换，并将式（9-26）关系代入，则式（9-25）可改写成

由式（9-26）和式（9-27）可得

由式（9-28）和式（9-27）可以得到状态空间描述为

例9-5 设控制系统的传递函数为

试求系统的状态空间描述。

解将系统的传递函数对照式（9-24）可得，b1＝1，b2＝3，b3＝2，a1＝7，a2＝12，a3＝0，再由式（9-29），式（9-30）可得系统的状态空间表达式为

（2）传递函数的状态空间最小实现问题(www.xing528.com)

以上介绍了由系统的传递函数得到系统的状态空间描述的问题，该问题在系统建模中亦称为实现问题。对于给定的线性控制系统，维数最小的实现称为最小实现。对于单输入/单输出系统的传递函数，存在两种情况，一种是传递函数的零点、极点可以对消（即传递函数的分子和分母多项式有可约去的因子），另一种是传递函数的零点、极点不可以对消（即传递函数的分子和分母多项式没有可约去的因子）。不可约传递函数的实现就是最小实现，这时系统状态变量的数目最少，状态空间描述的阶次最小。下面以一个例子说明传递函数的状态空间描述实现和最小实现。

例9-6 设给定系统的传递函数为

试求该传递函数的状态空间描述实现和最小实现。

解由式（9-31）可以看出，传递函数的分子和分母多项式有可约去的因子（s＋2），下面先求出不约去因子（s＋2）的状态空间描述实现。

由式（9-31）可得

由（1）讨论的结果，可以方便地得到系统的状态空间描述如下

再进一步考察题目所给的传递函数式（9-31），把它化简成不可约的传递函数形式，则有

应用上述相同的方法，可求得式（9-32）的状态空间描述为

以上结果表明，对在数学表达式上相等的两个传递函数表达式（9-31）和式（9-32），能求出两种不同阶次的状态空间描述（一个为三阶，另一个为二阶）。推而广之，对任何一个传递函数Y（s）/U（s），如果不要求“分子、分母多项式不可约”的限制的话，那么对分子、分母乘以相同的因子，就能构造出任意多个高阶次的实现。因此，把不可约的传递函数对应的状态空间实现称之为最小实现。