由此，可得到
在这里数字控制器D（z）的设计，乃是根据特定闭环脉冲传递函数，例如满足无稳态误差最少拍系统，来选择GB（z），从而可由上式计算数字控制器D（z）。
设计出的数字控制器D（z），还必须满足物理可实现条件：数字控制器D（z）分子多项式的阶次不得大于分母多项式的阶次；D（z）没有单位圆上（除有一个z＝1的极点外）和单位圆外的极点。
下面讨论如何选择GB（z）的问题。设给定系统输入为
r（t）＝tp（7-130）
则其Z变换表达式为
式中r＝p＋1，且A（z﹣1）为z﹣1的多项式，没有z＝1的零点。
由图7-44可知，系统误差脉冲传递函数为Ge（z），它与闭环脉冲传递函数GB（z）存在以下关系。
Ge（z）＝1－GB（z）（7-132）
于是，系统误差E（z）为
E（z）＝[1－GB（z）]R（z）（7-133）
根据终值定理，求系统稳态误差
要确定GB（z），以使系统的稳态误差为零，为此可令
1－GB（z）＝（1-z﹣1）r F（z﹣1）（7-135）
式中F（z﹣1）在z＝1处无零点。
所以
按式（7-136）不仅可确保系统稳态误差为零，同时闭环脉冲传递函数所有极点都位于Z平面上的原点，也即系统的瞬态响应是最短时间响应系统，在n个采样周期内，可达到稳态，即为最少拍响应系统。
（1）阶跃输入
此时p＝0，r＝1为保证系统为无稳态误差的最少拍系统，可令
则
于是，可求数字控制器D（z）
按上式选择D（z），可使系统为无稳态误差的最少拍响应系统，在一拍内可结束过渡过程，达到稳态。
必须指出，按式（7-139）选择数字控制器，是在假定原系统开环脉冲传递函数G（z）没有单位圆上和单位圆外的零、极点，否则，D（z）物理上不可实现。为了克服这个问题，适当选择PB（z），D（z）仍可实现。这个问题在后面加以讨论。
（2）斜坡输入
此时，p＝1，r＝2为使系统为无稳态误差的最少拍系统，可选取
则
于是，可求得数字控制器
Ge（z）＝（1－z﹣1）2（7-140）
按上式选择数字控制器，不仅能保证系统为无稳态误差，且在最少拍时间内达到稳态，在两拍内结束过渡过程，达到稳态。
（3）抛物线输入
此时p＝2，r＝3为保证系统为无稳态误差的最少拍系统，可选取(www.xing528.com)
Ge（z）＝（1－z﹣1）3（7-143）
则
GB（z）＝3z﹣1－3z﹣2＋z﹣3（7-144）
于是，可求D（z）
且按式（7-145）选择的数字控制器，可保证系统为无稳态误差的最少拍系统，系统可在三拍内结束过渡过程，达到稳态。
图7-45绘制的曲线分别是单位阶跃、单位斜坡、抛物线输入时，其输出响应为无稳态误差的最少拍系统。他们达到稳态的时间分别为1拍、2拍、3拍。达到稳态后，都是无差的。
表7-3列出上述设计结果。
图7-45 无稳态误差最少拍响应
表7-3 无稳态误差最少拍系统设计结果
例7-31 已知离散控制系统结构如图7-46所示。采样周期T＝1s。设计一数字控制器D（z）使系统对单位斜坡输入为无稳态误差的最少拍响应系统。并绘制r（t），
x（t），
。
图7-46 最少拍响应系统
解求开环脉冲传递函数G（z）
选取GB（z）
GB（z）＝2z﹣1－z﹣2
则
G（ez）＝（1－z﹣1）2
于是，可求数字控制器D（z）
此时，系统输出
Y（z）＝GB（z）R（z）＝2z﹣2＋3z﹣3＋⋯
y*（t）＝2δ（t－2）＋3δ（t－3）
而
根据上述所求各式，可绘制它们的波形如图7-47所示。
图7-47 各点波形图
该系统是针对斜坡输入来设计D（z）的，假定输入为单位阶跃和抛物线，现来求其相应的输出，以分析数字控制器的适应能力。
当r（t）＝1（t）时，其输出
当
时，系统输出
图7-48绘制系统输入为单位阶跃、斜坡、抛物线时，其输出波形图。
从波形图可知，对单位阶跃输入，尽管能达到稳态（2拍达到稳态），但出现100％超调，对抛物线输入，尽管也能达到稳态，但产生稳态误差为1，可见，这类系统对输入信号的适应能力差。
图7-48 系统输入为单位阶跃、斜坡、抛物线时，其输出波形图
无稳态误差的最少拍系统，是通过D（z）去抵消原系统G（z）所不希望的零极点，是参数最优控制系统，一旦参数发生变化，系统性能将变坏。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
