脉冲传递函数及其作用分析

同线性定常连续控制系统一样，脉冲传递函数对于分析线性定常离散控制系统十分重要，脉冲传递函数最能反映离散控制系统的本质特征及运行品质。下面，首先给出脉冲函数的定义，继而详细讨论开环脉冲传递函数、闭环脉冲传递函数的求法，并指出在求取离散控制系统脉冲传递函数应注意的问题，以及它与连续系统传递函数的区别。

（1）开环脉冲传递函数

一离散开环控制系统如图7-17所示。

图7-17 开环离散控制系统

它的输入r（t）经采样开关后，变为离散时域信号r*（t），r*（t）作用在传递函数为G（s）的动态环节上，它的输出一般为连续信号y（t）。为了定义开环离散控制系统的脉冲传递函数，我们假设在输出有一采样周期与输入开关采样周期同步的采样开关，得到假想的离散输出信号y*（t）。

脉冲传递函数定义为在零初始条件下，输出y*（t）的Z变换Y（z）与输入r*（t）的Z变换R（z）之比。脉冲传递函数用G（z）表示，则

问题是已知动态环节的传递函数为G（s），如何求取G（z）呢？假定动态环节的单位脉冲过渡函数为h（t）。该环节的输入为r*（t）

利用线性环节满足叠加原理，无穷多个脉冲作用在线性环节G（s）上，其输出y（t）为

y（t）＝r（0）h（t）＋r（T）h（t－T）＋⋯＋r（nT）h（t－nT）＋⋯ （7-51）

将输出信号离散化，得到

上式两边用乘以e﹣kTs，并求和，得到

考虑到前面的给定，当t＜0时，h（t）＝0，于是有

同理有

所以

采样周期与所用时间变量文字描述无关，则上式可改写为

即

式中

若令式中z＝e Ts，则可知

Y（z）＝R（z）G（z）（7-60）

又因

G(s)＝L[h（t）]

所以

G（z）＝Z[G（s）]（7-61）

例7-20 已知开环离散控制系统如图7-18所示，求脉冲传递函数。

解 由式（7-61）可知

图7-18 开环离散控制系统

（2）串联环节的脉冲传递函数

两个环节相串联，对于离散控制系统情况就要比连续控制系统要复杂一些，串联方式有两种不同方式，一是申联环节间没有采样开关的连接，一是串联环节间有采样开关连接，显然在这两种联接方式下，其总的脉冲传递函数有不一样的形式。

①两个串联环节间没有采样开关的连接。

图7-19 串联环节间没有采样开关

如图7-19所示，显然，由于G1（s）和G2（s）间没有采样开关，是直接连接，等价于图7-20。

图7-20 等价开环离散系统

由脉冲传递函数的定义，有

将Z[G1（s）G2（s）]记为G1G2（z）

G1G2（z）＝Z[G1（s）G2（s）]（7-63）

②串联环节间有采样开关连接，且采样开关都是同步采样。

图7-21 串联环节间有采样开关

如图7-21所示，由脉冲传递函数的定义有

所以

根据上面分析，显然

G1G2（z）≠G1（z）·G2（z）（7-65）

例7-21 已知，根据式（7-63）和式（7-64），求取脉冲传递函数。

解 由式（7-63）可求两串联环节无采样开关时的脉冲传递函数为

由式（7-64）可求两申联环节间有采样开关连接时的脉冲传递函数为

可见

G1G2（z）≠G1（z）·G2（z）

（3）带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数

实际的离散控制系统，都有一个将离散信号变为连续信号的装置，这就是零阶保持器，如图7-22所示。

图7-22 带零阶保持器开环离散系统

由脉冲传递函数的定义有

令

则由实位移定理，有

所以，带零阶保持器开环离散控制系统的脉冲传递函数为

（4）闭环离散控制系统的脉冲传递函数

从图7-23所示的带扰动的闭环离散控制系统，r（t）为系统输入，d（t）为系统扰动输入。

图7-23 带于扰的闭环线性离散控制系统

由于是线性离散系统，下面在讨论闭环误差脉冲传递函数Ge（z）和闭环脉冲传递函数GB（z）时，可以认为d（t）＝0，在讨论输出和扰动之间的脉冲传递函数时，可认为r（t）＝0。

为了求图7-23所示闭环离散系统的闭环脉冲传递函数，假定d（t）＝0，得到如图7-24所示的结构图。(www.xing528.com)

根据脉冲传递函数的定义可知

Y（z）＝G1G2（z）E（z）（7-70）

E（z）＝R（z）－B（z）（7-71）

由于实际物理系统反馈至H（s）环节的信号是连续而不是离散信号，因此环节H（s）的输出是

图7-24 线性闭环离散控制系统

离散信号e*（t）作用在G1（s）上，再经G2（s）作用在H（s）上产生的，由于G1（s）和G2（s），以及G2（s）和H（s）之间的连接没有采样开关，因此

B（z）＝G1G2H（z）E（z）（7-72）

将式（7-72）代入式（7-71），有

E（z）＝R（z）－G1G2H（z）·E（z）（7-73）

于是得到

定义误差脉冲传递函数Ge（z）为

将式（7-75）代入式（7-70），有

于是得到闭环系统的脉冲传递函数GB（z）为

下面讨论系统输出与扰动之间的关系，此时，可假定输入r（t）＝0，得到按扰动输入的等价的离散控制系统的结构图，如图7-25。

图7-25 扰动输入的离散控制系统

在讨论这个问题时，必须根据脉冲传递函数的定义，以真正的离散信号输入为基点，并考虑串联环节间是否有采样开关，一步一步地书写输入输出关系式，最后，达到求出按扰动输入的脉冲传递函数。

Y（z）＝G2（z）D（z）＋G1G2（z）E（z）（7-78）

E（z）＝﹣G2H（z）·D（z）－G1G2H（z）E（z）（7-79）

所以，有

将式（7-80）代入式（7-78），有

所以

通过上面讨论，在这里要特别指出，在求解复杂离散系统的脉冲传递函数时，由于采样开关处在不同的位置，即使各动态环节的传递函数不变，所求的脉冲传递函数是不相同的，有时，采样开关设置的位置，有可能求不出脉冲传递函数，而只能求出输出Z变换表达式。见下面例子。

例7-22 已知采样系统结构如图7-26所示。

图7-26 离散控制系统

由脉冲传递函数定义及串联环节的连接方式，可列写出如下式子

Y（z）＝GR（z）－G（z）B（z）

B（z）＝GHR（z）－GH（z）B（z）

所以

将B（z）代入Y（z）中，有

此时，我们无法求取闭环脉冲传递函数，而只能求出系统输出的Z变换表达式。这是与连续系统有本质差别的一个特征，必须引起注意。

例7-23 已知采样系统结构如图7-27所示。求离散输出表达式。

图7-27 数字前馈离散控制系统

解这是一个连续与离散交混的系统，引进离散前馈信号，从而使得求离散输出Z变换十分复杂。按连续拉氏变换列写式子，是离散信号的则写成离散拉氏变换形式

Y＝G2G1·D*·E*＋G2E

又

E＝R－G2E－G1G2D*E*

所以

对E离散化，取*，则有

所以

将E和E*代入Y中，有

对Y取*，则得到输出的离散拉氏变换表达式

考虑到

所以

求出了闭环系统的脉冲传递函数，可以根据系统输出，分析系统的输出响应，求得系统输出的脉冲序列。

例7-24 已知闭环采样系统如图7-28所示，求闭环脉冲传递函数，并求系统在单位阶跃下的输出脉冲序列，假定采样周期T＝0.1s。

图7-28 闭环采样系统

解

Y（z）＝G（z）E（z）

E（z）＝R（z）－G（z）E（z）

所以

而

所以

于是，可求输出Z变换表达式Y（z）

由上式可求输出脉冲序列

y*（t）＝1.264δ（t－T）＋1.396δ（t－2T）＋0.945δ（t－3T）＋0.849δ（t－4T）＋0.869δ（t－5T）＋0.907δ（t－6T）＋⋯

绘制其输出脉冲序列波形如图7-29所示。

图7-29 闭环采样系统输出脉冲序列