如何衡量系统的相对稳定性？

以图5-41为例说明相对稳定性的概念。图5-41（a）和（b）所示为两个最小相位系统的开环频率特性曲线（实线），由于曲线没有包围（﹣1，j0）点，由奈氏判据知它们都是稳定的系统，但图5-41（a）所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点A距离（﹣1，j0）点较远，图5-41（b）所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点B距离（﹣1，j0）点较近。假定系统的开环放大系统由于系统参数的改变比原来增加了百分之五十，则图5-41（a）中的A点移到A′点，仍在（﹣1， j0）点右侧，开环频率特性曲线如图5-41（a）虚线所示。而图5-41（b）中的B点则移到（﹣1，j0）点的左侧（B′点），如图（b）虚线所示，系统便不稳定了。可见，前者较能适应系统参数的变化，即它的相对稳定性比后者好。

图5-41 系统的相对稳定性

通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。

（1）相角裕度γ

如图5-42所示，把GH平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率ωc称为幅值穿越频率或剪切频率，它满足

∣G（jωc）H（jωc）∣＝1，0≤ωc≤﹢∞ （5-66）

所谓相角裕度γ是指幅值穿越频率ωc所对应的相移Φ（ωc）与﹣180°角的差值，即

γ＝Φ（ωc）－（﹣180°）＝Φ（ωc）＋180°（5-67）

对于最小相位系统，如果相角裕度γ＞0°，系统是稳定的（图5-42），且γ值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度γ＜0°，系统则不稳定（图5-43）。当γ＝0°时，系统的开环频率特性曲线穿过（﹣1，j0）点，是临界稳定状态。

相角裕度的含义是，使系统达到临界稳定状态时开环频率特性的相角φ（ωc）＝∠G（jωc） H（jωc）减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。

（2）幅值裕度Kg

如图5-42所示，我们把系统的开环频率特性曲线与GH平面负实轴的交点频率ωg称为相位穿越频率，显然它满足(www.xing528.com)

图5-42 幅值裕度与相角裕度的定义

图5-43 不稳定系统的幅值与相角裕度

∠G（jωg）H（jωg）＝﹣180°， 0≤ωg≤＋∞ （5-68）

所谓幅值裕度Kg是指相位穿越频率ωg所对应的开环幅频特性的倒数值，即

对于最小相位系统，如果幅值裕度Kg＞1（即∣G（jωg）H（jωg）∣＜1），系统是稳定的，且Kg值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度Kg＜1（即∣G（jωg）H（jωg）∣＞1），系统则不稳定。当Kg＝1时，系统的开环频率特性曲线穿过（﹣1，j0）点，是临界稳定状态。可见，求出系统的幅值裕度Kg后，便可根据Kg值的大小来分析最小相位系统的稳定性和稳定程度。

幅值裕度的含义是，使系统到达临界稳定状态时开环频率特性的幅值∣G（jωg）H（jωg）∣增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的倍数，即

∣G（jω）H（jω）∣·Kg＝1

幅值裕度也可以用分贝数来表示，即

20lgKg＝﹣20lg∣G（jω）H（jω）∣dB（5-70）

因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于零分贝来判断最小相位系统是稳定、临界稳定或不稳定。

这里要指出的是，系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅值裕度的大小来判断，必须同时考虑相角裕度和幅值裕度。这从图5-44（a）和（b）所示的两个系统可以得到直观的说明，图5-44（a）所示系统的幅值裕度大，但相角裕度小；相反，图5-44 （b）所示系统的相角裕度大，但幅值裕度小。这两个系统的相对稳定性都不好。对于一般系统，通常要求相角裕度γ＝30°～60°，幅值裕度Kg≥2。