奈奎斯特稳定判据详解

（1）辅助函数F（s）

奈奎斯特判据是根据系统的开环频率特性对闭环系统进行稳定性判断的，为应用幅角原理，引入辅助函数F（s），其形式为

由式（5-60）知，辅助函数F（s）的分子与分母多项式的阶次相同，而且F（s）的极点就是开环传递函数的极点，而F（s）的零点是闭环传递函数的极点。复平面F与复平面GH的关系只相差常数1，F平面的原点就是GH平面的（﹣1，j0）点。

（2）S平面上的封闭曲线Γs

图5-35 平面上的封闭曲线

由于闭环系统的稳定性只与闭环传递函数极点即辅助函数F （s）的零点分布位置有关，因此，在S平面上，选择封闭曲线Гs包围整个右半S平面。若Γs内不包含F（s）的零点，即Z＝0，则系统稳定。

因为Гs曲线不能通过F（s）的奇点，所以，分两种情况加以讨论。

①F（s）在虚轴上无极点。

当F（s）在虚轴上无奇点时，可将Γs分为三段，如图5-35所示，负虚轴、正虚轴和无穷大半圆。Γs的第1段和第2段，s＝±jω，在GH平面上的映射为

Γs第2段在GH平面上的映射正是系统开环频率特性的幅相曲线，而第1段在GH平面上的映射与开环幅相曲线关于实轴是对称的。如果将频率特性的频率变化范围取为ω从﹣∞变化到＋∞，则整个虚轴映射到GH平面，就是系统的开环幅相曲线。在用奈氏判据进行稳定性分析时，也将该曲线称为奈氏曲线。

当Гs在第3部分上变化时，，它在GH平面上的映射为

当n＝m时

奈氏轨迹的第三部分（无穷大半圆弧）在GH平面上的映射为常数K。

当n＞m时，

Γs的第三部分在GH平面上的映射是坐标原点。

把奈氏轨迹Γs在GH平面上的映射ΓGH称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线。

②F（s）在虚轴上有极点。

由于Гs曲线不能通过F（s）的奇点，所以，当开环传递函数含有虚轴上的极点时，Гs曲线必须绕过极点。这里，以开环传递函数含有积分环节为例进行讨论。此时，Гs曲线增加第4部分，以原点为圆心，无穷小半径逆时针作圆，即右半平面的极点不包含该点，如图5-36所示。下面讨论Γs第4部分在GH平面上的映射。

图5-36 有积分环节时的Гs曲线

Гs第4部分的定义是：，表明s在以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（ω由0﹣→0＋）。这样，Γs既绕过了位于G（s）H（s）平面原点处的极点，又包围了整个右半S平面，如果在虚轴上还有其他极点，亦可采用同样的方法，将Гs绕过这些虚轴上的极点。

设系统的开环传递函数为

其中v称为无差度，即系统中含积分环节的个数或位于原点的开环点数。当时

式（5-63）表明，Γs的第4部分无穷小半圆弧在GH平面上的映射为顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转的弧度为vπ弧度。图5-37和图5-38分别表示当v＝1和v＝2时系统的奈氏曲线，其中的虚线部分是Γs的无穷小半圆弧在GH平面上的映射。

（3）幅角原理的应用

从上面的分析可知，奈氏曲线ΓGH实际上是系统开环频率特性极坐标图的扩展。当已知系统的开环频率特性G（jω）H（jω）后，根据它的极坐标图和系统的性质（是否含有积分环节、开环传递函数中分子分母的最高阶次等）便可方便地在GH平面上绘制出奈氏曲线ΓGH。由此我们得到基于开环频率特性G（jω）H（jω）的奈氏判据如下：(www.xing528.com)

图5-37 v＝1时系统的奈氏曲线

图5-38 v＝2时系统的奈氏曲线

闭环系统稳定的充分必要条件是，GH平面上的开环频率特性G（jω）H（jω）曲线当ω由﹣变化到＋∞时，按逆时针方向绕（﹣1，j0）点P周。

奈氏判据可表示为

Z＝P－N（5-64）

式中，Z为闭环极点在右半S平面极点的个数，P为开环极点在右半S平面极点的个数， N为奈氏曲线绕（﹣1，j0）的周数，逆时针绕（﹣1，j0）点，N为正，顺时针绕（﹣1，j0）点N为负。若ω由0变化到＋∞，则奈氏判据为

Z＝P－2N（5-65）

当系统开环传递函数的全部极点均位于S平面左半部（包括原点和虚轴），即P＝0，若奈氏曲线ΓGH不包围GH平面上的（﹣1，j0）点，那么，N＝0，Z＝P－N＝0，闭环系统稳定。

当系统开环传递函数G（s）H（s）有位于S平面右半部的极点时（P≠0），如果系统的奈氏曲线ΓGH逆时针绕（﹣1，j0）点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数，则Z＝P－N＝0，闭环系统稳定，否则不稳定，且不稳定根的个数为Z。

当ΓGH曲线恰好通过GH平面的（﹣1，j0）点时，系统处于临界稳定状态。

例5-8 系统的开环传递函数为

试用奈氏判据分析系统的稳定性。

解 系统的频率特性为

图5-39 例5-8题系统幅相曲线

当ω由﹣∞至＋∞时，系统的奈氏曲线如图5-39所示。系统的两个开环极点和均在S平面左半部，即S平面右半部的开环极点数P＝0，由图5-39可知，系统的奈氏曲线ГGH不包围（﹣1，j0）点（N＝0），根据奈氏判据，位于S平面右半部的闭环极点数Z＝P－N＝0，该闭环系统是稳定的。

例5-9 已知反馈控制系统的开环传递函数为

试用奈氏判据分析当T＜τ，T＝τ，T＞τ时系统的稳定性。

解 系统的开环频率特性为

其幅频特性和相频特性分别是

①当T＜τ时，arctanTω＜arctanτω，当ω从0变至＋∞时，∣G（jω）H（jω）∣由∞变至0，∠G（jω）H（jω）在Ⅲ象限内由﹣180°变化为﹣180°，其对应的奈氏曲线如图5-40（a）所示，图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环重极点p＝0在GH平面上的映射。由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没有包围（﹣1，j0）点（N＝0），系统无S平面右半部的开环极点（P＝0），由奈氏判据知，当T＜τ时，该系统是稳定的。

②当T＝τ时，arctanTω＝arctanτω，系统的相频特性∠G（jω）H（jω）＝﹣180°，与角频率ω无关，当ω由0变至＋∞时，幅频特性∣G（jω）H（jω）∣由∞变至0。如5-40（b）所示，除无穷大圆弧外，奈氏曲线穿过（﹣1，j0）点且与负实轴重合，故系统处于临界稳定状态。

③当T＞τ时，arctanTω＞arctanτω，当ω由0变至＋∞时，∣G（jω）H（jω）∣由∞变至0，∠G（jω）H（jω）由﹣180°在第Ⅱ象限内变化后再次变为﹣180°，其对应的奈氏曲线如图5-40（c）所示。由于奈氏曲线左端是封口的，它顺时针包围了（﹣1，j0）点两周，N＝﹣2。由奈氏判据知，Z＝P－N＝2，所以，当T＞τ时，该系统是不稳定的。

图5-40 二阶无差系统的奈氏曲线