用Matlab绘制系统根轨迹的技巧

本章前面的内容介绍了控制系统根轨迹的绘制以及利用系统大致的根轨迹图分析系统性能的方法，若要由根轨迹获得系统在某一特定参数下准确的性能指标或者准确的闭环极点，需要依据幅值条件精确地作图。如果利用Matlab工具箱中函数，则可方便、准确地作出根轨迹图，并利用图对系统进行分析。

Matlab工具箱中，求系统根轨迹的几个常用函数有rlocus，rlocfind，sgrid，下面通过具体的例子来说明这些函数的应用。

例4-13 控制系统的开环传递函数为

绘制系统的根轨迹图。

解 利用函数rlocus函数可直接作出系统的根轨迹图，程序如下

％ example4-13

％

num＝[1，5]；

dun＝[1，6，11，6，0]；

rlocus （num，dun）

执行该程序后，可得到如图4-20所示的根轨迹。

利用函数rolcus画出系统的根轨迹图后，可用rlocfind函数在根轨迹上选择任意极点，得到相应的开环增益K 和其他闭环极点。

例4-14 控制系统的开环传递函数为

绘制系统的根轨迹图，并确定根轨迹的分离点及相应的开环增益K 。

图4-20 例4-13题根轨迹图

解 将开环传递函数写为

Matlab程序如下

％ example4-14

％

num＝[1]；

den＝[0.0002，0.03，1，0]；

rlocus （num，den）

title （‘Root Locus’）

[k，p]＝rlocfind （num，den）

程序执行过程中，先绘出系统的根轨迹，并在图形窗口中出现十字光标，提示用户在根轨迹上选择一点，这时，将十字光标移到所选择的地方，可得到该处对应的系统开环增益及其他闭环极点。此例中，将十字光标移至根轨迹的分离点处，可得到

k＝ 9.6115

p＝

﹣107.7277

﹣21.9341

﹣20.3383

图4-21 例4-14系统的根轨迹

若光标能准确定位在分离点处，则应有两个重极点，即p2与p3相等。程序执行后，得到的根轨迹图如图4-21所示。

例4-15 开环系统的传递函数为

绘制系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。

解 Matlab程序如下

％ example4-15

％

num ＝[1，3]；

den1＝[1，6，5]；

den＝conv （den1，den1）；

figure （1）

rlocus（num，den）(www.xing528.com)

[k，p]＝rlocfind （num，den）

％ analyzing the stability

figure （2）

k＝159；

num1＝k*[1，3]；

den＝[1，6，5]；

den1＝conv （den，den）；

[num，den]＝cloop （num1，den1，﹣1）；

impulse （num，den）

title （‘Impulse Response（k＝160）’）

％analyzing the stability

figure （3）

k＝161

num1＝k*[1，3]；

den＝[1，6，5]；

dent＝conv （den，den）；

[num，den] ＝cloop （num1，den1，﹣1）；

impulse （num，den）

由第1段程序得到根轨迹后，将十字线移到根轨迹与虚轴的交点上，可得到在交点处K *＝160，可知，使系统临界稳定的根轨迹增益为，根轨迹如图4-15（a）所示。当系统的根轨迹增益K *＝159时，系统是稳定的，但系统的阻尼非常小，超调量近似为100％，已接近临界稳定的状态。当K *＝161时，系统具有正实部的复数极点，系统不稳定。执行第2、3段程序后，得到图4-22（b）和（c）。由图4-22（b）和（c）可清楚看到，当K *＝159时，闭环系统的脉冲响应是收敛的，故系统稳定，而当K *＝161时，闭环系统的脉冲响应是发散的，故系统不稳定。

图4-22 例4-15图

例4-16 单位反馈系统的开环传递函数为

试绘制系统的根轨迹，确定当系统的阻尼比ζ＝0.7时系统的闭环极点，并分析系统的性能。

解 Matlab程序如下

％example4-16

％

num ＝[431]；

den＝[3510]；

sgrid

rlocus（num，den）

[k，p]＝rlocfind（num，den）

图4-23 例4-16根轨迹图

执行以上程序后，可得到绘有由等阻尼比系数和自然频率构成的栅格线的根轨迹图，如图4-23所示。屏幕出现选择根轨迹上任意点的十字线，将十字线的交点移至根轨迹与ζ＝0.7的等阻尼比线相交处，可得到

k＝

0.2752

p＝

﹣1.7089

﹣0.1623＋0.1653j

﹣0.1623－0.1653j

此时系统有三个闭环极点，一个负实数极点，两个共轭复数极点，实数极点远离虚轴，其距虚轴的距离是复数极点的10倍，且复数极点附近无闭环零点，因此，这对共轭复数极点满足主导极点的条件，系统可简化为由主导极点决定的二阶系统，系统的性能可用二阶系统的分析方法得到。

系统的特征方程为

所以，系统的闭环传递函数为