绘制根轨迹的基本规则及技巧

由上节知道，当K*从零到无穷变化时，依据相角条件，可以在复平面上找到满足K*变化时的所有闭环极点，即绘制出系统的根轨迹。但是在实际中，通常并不需要按相角条件逐点确定该点是否为根轨迹上的点，而是依据一定的规则，找到某些特殊的点，绘制出闭环极点随参数变化的大致轨迹，在感兴趣的范围内，再用幅值条件和相角条件确定极点的准确位置。

下面以变参量K*为例，讨论绘制根轨迹的基本规则。

规则1 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。

证 根轨迹的起点对应根轨迹增益K*＝0时特征方程的根，根轨迹的终点对应K*＝∞时的特征方程根。由根轨迹的幅值条件可知

对于物理可实现系统，开环传递函数分母多项式的阶次n与分子多项式的阶次m，满足不等式n≥m。

当K*＝0时，有

s＝pi， i＝1,2，⋯，n

满足幅值条件，说明根轨迹的起点是开环极点。

当K*＝∞时，有

s＝zj，j＝1,2，⋯，m

满足幅值条件，说明根轨迹的终点是开环零点。

当n＝m时，根轨迹起点的个数与根轨迹终点的个数相等。当n＞m时，根轨迹的终点数少于起点数，由式（4-10）知，当K*＝∞时，

说明有n－m个终点在无穷远处。将这些终点称做无限零点，把有限数值的零点称做有限零点。

若研究的参变量不是系统的根轨迹增益K *，可能会有n＜m 的情况，即根轨迹的起点数少于根轨迹的终点数。由式（4-10）知，当K *＝0时，有下式成立

说明有m－n个根轨迹的极点在无穷远处，若将这些极点看做是无限极点，仍可认为根轨迹的起点是开环极点。

规则2 根轨迹的分支数与m 和n中的大者相等，根轨迹是连续的且关于实轴对称。

证 由于根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在S平面上变化的轨迹，所以根轨迹的分支数与闭环特征方程的根的数目一样。由式（4-7），系统的特征方程为

可见，特征根的数目等于m 和n中的较大者，即根轨迹的分支数与m 和n中的较大者相等。

由幅值条件

可知，参变量K *无限小增量与S平面上的长度∣s－pi∣和∣s－zj∣的无限小增量相对应，此时，复变量s在n条根轨迹上就各有一个无穷小的位移，因此，当K *从零到无穷连续变化时，根轨迹在S平面上一定是连续的。

由于闭环特征方程是实系数多项式方程，其根或为实数位于实轴上，或为共轭复数成对出现在复平面上。因此，根轨迹是对称于实轴的。在绘制根轨迹时，只要作出S平面上半部的轨迹，就可根据对称性得到下半平面的根轨迹。

规则3 实轴上，若某线段右侧的开环实数零、极点个数之和为奇数，则此线段为根轨迹的一部分。

证 设开环零、极点在S平面上的分布如图4-4所示。

图4-4 实轴上的根轨迹

为确定实轴上的根轨迹，选择s0作为试验点。图4-4中，开环极点到s0点的向量的相角为φi（i＝1，2，3，4，5），开环零点到s0点的向量的相角为θj（j＝1，2，3，4）。共轭复数极点p4和ps到s0点的向量的相角和为φ4＋φs＝2π，共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π，因此，当我们在确定实轴上的某点是否在根轨迹上时，可以不考虑复数开环零、极点对相角的影响。下面分析位于实轴上的开环零、极点对相角的影响。实轴上，s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2构成的向量的夹角φ3和θ2均为0°，而s0点右侧的开环极点p1，p2和开环零点z1构成的向量的夹角φ1，φ2和θ1均为π。若s0为根轨迹上的点，必满足相角条件，有

由以上分析知，只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。所以，在图4-4中，实轴上的P1至z1，P2至z2和P3至﹣∞这三段是实轴上的根轨迹。

规则4 当有限开环极点数n大于有限零点数m时，有n－m条根轨迹沿n－m条渐近线趋于无穷远处，这n－m条渐近线在实轴上都交于一点，交点坐标为

渐近线与实轴的夹角为

证 由式（4-5），系统的特征方程为

或

上式左端用长除法，因s很大，故只保留前两项，得渐近线方程为

或

根据二项式定理有

由于s很大，只保留级数的前两项，可近似为

将式（4-19）代入式（4-18），有渐近线方程(www.xing528.com)

令s＝σ＋jω代入式（4-20），并利用棣美弗定理，得

令式（4-21）两端实部和虚部分别相等，有

令

由方程（4-22）和方程（4-23）可知

所以有

ω＝（σ－σa）tanφa（4-24）

方程（4-24）即是渐近线方程。在S平面上为一直线方程，直线的斜率为tanφa，直线与实轴的交点为σa。

f对应不同的k值，渐近线与实轴的夹角φa也有n－m个不同值，而交点σa不随k值变化。所以，当s→∞时，根轨迹的渐近线是n－n条与实轴的交点为σs，夹角为φa的射线。

规则5 两条或两条以上的根轨迹分支在S平面上某点相遇又立即分开，则称该点为分离点，分离点的坐标d可由以下方程求得

分离角为（2k＋1）π/l。

证 由式（4-7），闭环系统的特征方程为

根轨迹在S平面上相遇，说明闭环特征方程有重根，设重根为d。根据代数方程中重根的条件，有D（s）＝0，D（s）＝0，即

或

式（4-27）除式（4-28），得

即

因为

式（4-29）可写为

有

解方程，可得根轨迹的分离点d。应当指出，方程的根不一定都是分离点，只有代入特征方程后，满足K*＞0的那些根才是真正的分离点。在实际中，往往根据具体情况就可确定方程（4-31）的根是否为分离点，而不一定需要代入特征方程中去检验K*是否大于零。

若开环传递函数无有限零点，则在分离点方程（4-31）中应取

若将根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角定义为分离角，则分离角可由（2k＋1）π/l确定，l为进入分离角的根轨迹分支数。通常，两支根轨迹相遇的情况较多，l＝2，其分离角为直角。

规则6 根轨迹离开复数极点的切线方向与正实轴间的夹角称为起始角，用表示；进入复数零点的切线方向与正实轴间的夹角称为终止角，用表示，可根据下面的公式计算

证设开环系统有n个极点，m个零点。在根轨迹上无限靠近待求起始角的开环极点pl附近取一点s1，由于s1无限接近pl点，所以除了pl点之外，其他开环零点和极点到s1点向量的相角都可用它们到pl点的相角来代替，而pl点到s1点的相角即是起始角。因为s1点在根轨迹上，必满足相角条件，有

式（4-33）的证明可类推。

规则7 若根轨迹与虚轴相交，其交点处的ω值和相应的K*可由劳斯判据求得，或将s＝jω代入特征方程，并令其实部和虚部分别相等求得。

证 若根轨迹与虚轴相交，则说明系统处于临界稳定状态，可令劳斯表的第一列系数含有K*的项为零，求出K*值。如果根轨迹与正虚轴有一个交点，说明特征方程有一对纯虚根，可利用劳斯表中s2项的系数构成辅助方程，解此方程便可求得交点处的ω值。若根轨迹与正虚轴有两个或两个以上的交点，则说明特征方程有两对或两对以上的纯虚根，这时可用劳斯表中大于2的偶次幂所在行的系数构成辅助方程，求得根轨迹与虚轴的交点。

除了用劳斯判据求根轨迹与虚轴的交点外，还可令s＝jω代入特征方程，即

1＋G（jω）H（jω）＝0

令特征方程两端的实部和虚部分别相等，有

Re[1＋G（jω）H（jω）]＝0

Im[1＋G（jω）H（jω）]＝0

联立解上面二方程，即可求出与虚轴交点处的K*值和ω值。

根据以上7条规则，就可以在S平面上绘制出大致的根轨迹图。