使用Matlab分析控制系统性能的方法探讨

这一节将用两个例子描述反馈控制的优点，同时说明如何利用Matlab来分析控制系统。系统分析的主要内容包括如何抑制干扰、如何减小稳态误差、如何调节瞬态响应以及如何减少系统对参数变化的影响等。

图3-37 速度控制系统结构图

第一个例子是带有负载转矩干扰信号的电枢控制直流电动机。开环系统结构图如图3-37（a）所示，为了改善系统性能，加入速度反馈如图3-37（b）所示。系统的各元器件参数值在表3-6中给出。

表3-6 速度控制系统的参数

从图中可以看出，系统有Ua（s）（或Vr（s））和ML（s）两个输入。由于这是一个线性系统，按叠加定理可以分别考虑两个输入的独立作用结果。为了研究干扰对系统的作用，可令Ua（s）＝0（或Vr（s）＝0），此时只有干扰ML（s）起作用。相反地，为了研究参考输入对系统的响应，可令ML（s）＝0。如果系统具有很好的抗干扰能力，则干扰信号ML（s）对输出ω（s）的影响就应该很小，下面就来验证此结论。

首先，考虑图3-37（a）所示的开环系统，从ML（s）到ωo（s）（此处的下标“o”表示开环）的传递函数为

假设干扰信号为单位阶跃信号，即ML（s）＝1/s。利用Matlab可以计算系统的单位阶跃响应如图3-38（a）所示，而用于分析此开环控制系统的Matlab程序文本。pentach.m示于图3-38（b）。

在输入信号Ua（s）＝0的情况下，稳态误差就是干扰响应ωo（t）的终值。在图3-38（a）的曲线中，干扰响应ωo（t）在t＝7s后已近似不变，所以近似稳态误差值为

ωo（∞）﹣0.663rad/s

同样，通过计算从ML（s）到ωc（s）（此处下标“c”表示闭环）的闭环传递函数可分析图3-37（b）所示闭环系统的抗干扰性能。对于干扰输入的闭环传递函数为

闭环系统对单位阶跃干扰输入的响应曲线ω（t）和Matlab程序文本closedtach.m分别示于图3-39（a），（b）。

同前，稳态误差就是ω（t）的终值，稳态误差的近似值为

ωc（∞）﹣0.002rad/s

在本例中，闭环系统与开环系统对单位阶跃干扰信号的输出响应的稳态值之比为

可见通过引入负反馈已明显减小了干扰对输出的影响，这说明闭环反馈系统具有抑制噪声特性。

图3-38 开环速度控制系统分析

图3-39 闭环速度控制系统分析(www.xing528.com)

图3-40 反馈控制系统的结构图

第二个例子是分析闭环控制系统的控制器增益K对瞬态响应的影响。图3-40是闭环控制系统的结构图。在参考输入R（s）和干扰输入N（s）同时作用下系统的输出为

如果单纯考虑增益K对参考输入产生的瞬态响应的影响，可以预计增加K将导致超调量增加、调整时间减少和响应速度提高。在增益K＝20和K＝100时，系统对参考输入的单位阶跃响应曲线以及相应的Matlab程序文本gain-kr.m示于图3-41。对比两条响应曲线，可以看出上述预计的正确性。尽管在图中不能明显看出增大K能减少调整时间，但是这一点可以通过观察Matlab程序的运行数据得以验证。这个例子说明了控制器增益K是如何改变系统瞬态响应的。根据以上分析，选择K＝20可能是一个比较好的方案。尽管如此，在做出最后决定之前还应该考虑其他因素。

图3-41 单位阶跃输入的响应分析

在对K做出最后选择之前，非常重要的是要研究系统对单位阶跃干扰的响应，有关结果和相应的Matlab程序文本如图3-42所示。从中可以看到，增加K减少了单位干扰响应的幅值。对于K＝20和K＝100，响应的稳态值分别为0.05和0.01。对干扰输入的稳态值可按终值定理求得

如果仅从抗干扰的角度考虑，选择K＝100更合适。

图3-42 单位阶跃干扰的响应分析

在本例中所求出的稳态误差、超调量和调整时间（2％误差）归纳于表3-7。

在控制系统设计中有很多成熟的经验，设计者常常要权衡利弊，综合考虑。在这个例子中，增加K导致了更好的抗干扰性，然而减少K可以使系统具有更好的瞬态响应性能。如何选择K的最终权力留给了设计者。尽管Matlab软件对控制系统的分析和设计很有帮助，但是控制工程师的经验往往更重要。

表3-7 K＝20和K＝100时，控制系统的响应特性

最后来分析被控对象变化时系统的灵敏度。在本例中，被控对象的传递函数和闭环系统的传递函数分别为

系统的灵敏度可由式（3-78）得出

利用上式可计算不同s值所对应的灵敏度SG，并绘制出频率—灵敏度曲线。图3-43（a）中给出的是K＝20，s＝jω，ω＝10﹣1～10﹣4时，系统的灵敏度相对于频率ω的变化曲线，图3-43（b）是相应的Matlab程序文本。在低频段，系统的灵敏度可近似为

可见，增大K值，可以减少系统的灵敏度。

图3-43 系统的灵敏度分析

另外，在Matlab函数中还有impulse函数（脉冲响应函数）和lsim函数（任意输入下的响应函数），这两个函数的用法与step函数相近，这里不再介绍。