零极点对二阶系统响应的影响分析与优化

实际的控制系统，多数是高于二阶的系统，即高阶系统。高阶系统的传递函数一般可以写成如式（3-41）的形式

将上式写成为零极点的形式，则

式中q＋2l＝m，k＋2r＝n。

对于单位阶跃响应，则

假如没有重极点，则

由上式可见，高阶系统的响应是由惯性环节和振荡环节（二阶系统）的单位阶跃响应构成，各分量的相对大小由系数Ci，Ai和Bi决定，所以了解了各分量及其相对大小，就可知高阶系统的瞬态响应。

当系统是稳定的，由式（3-42）及拉氏反变换求系数可以得出以下几点。

①高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由﹣pi和﹣ζniωni决定，也即系统极点在S平面左半部离虚轴越远，相应的分量衰减越快。

②各分量所对应的系数决定于系统的零、极点分布（式3-42）。当某极点﹣pi靠近零点，而远离其他极点和原点，则相应的系数Ci越小，该瞬态分量的影响就小；若一对零极点互相很接近，则在输出c（t）中与该极点对应的分量就几乎被消除。

若某极点﹣pi远离零点、越接近其他极点和原点，则相应的系数Ci越大，该瞬态分量影响也就越大。

③系统的零点、极点共同决定了系统瞬态响应曲线的形状。根据上述，对于系数很小（影响很小）的分量、远离虚轴衰减很快的分量常常可以忽略，因而高阶系统的性能就可用低阶系统来近似估计。

假如高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实数部分为其他极点的1/10或更小，并且附近又没有零点，则可认为系统的响应主要由该极点（或共轭复数极点）决定，这一分量衰减最慢。这种对系统瞬态响应起主要作用的极点，称为系统的主导极点。一般情况下，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常常是共轭复数极点。找到了一对共轭复数主导极点，高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，相应的性能指标都可以按二阶系统近似估计。

根据一定条件找出主导极点，在系统分析中是很重要的事。在系统设计中，也常常应用主导极点这一概念，使高阶系统具有一对主导极点。

图3-19 三阶系统的零极点分布图

下面通过具体实例来说明，一个极点或一个零点对系统响应的影响。

考察一个三阶系统，其闭环传递函数为

这是一个ωn＝1的系统，其零极点在S平面的分布如图3-19所示。实验证明，若下式成立，即

则该系统的性能指标如超调量σp％和调整时间ts等，可用二阶系统的曲线来表示。也就是说，当主导极点的实部小于第3个根实部的1/10时，该三阶系统的响应可以用由主导极点表示的二阶系统的响应来近似。

图3-20 二阶系统与惯性环节串联

实际上，可以将这样一个三阶系统看成是由主导极点决定的二阶系统与一个惯性环节（一阶滤波器）串联而成的，如图3-20所示。当惯性环节的时间常数较大，也就是第3个根的实部较小时，惯性环节的作用较强。二阶系统的输出c1（t）经过该惯性环节的滤波后，振荡现象自然减弱很多。(www.xing528.com)

当ζ＝0.45时，通过计算机仿真能够得到系统在单位阶跃输入下的响应。可以发现，当τ＝2.25时，实数极点为﹣1/τ＝﹣0.444，而复数极点的实部为﹣0.45，二者相差不大，所以系统是过阻尼的，响应没有超调，如果按照2％的误差标准计算调整时间则为9.6s。如果将τ调整为0.9，即实数极点为﹣1.11，则计算得到的超调量为12％，调整时间为8.8s。上述仿真结果归纳在表3-1中。

表3-1 三阶系统的第3个极点对性能指标的影响

必须注意的是，上述的结果仅在闭环传递函数没有零点的情况下才是正确的。如果二阶系统的闭环传递函数中包含有零点，且该零点位于主导极点附近，则同样会对系统的瞬态响应产生影响。假设系统的传递函数为

图3-21 含有一个零点二阶系统的阶跃响应

可以认为这是一个在标准二阶系统的基础上附加一个零点而形成的系统。当ζ≤1时，系统阶跃响应的超调量是a/ζωn的函数，针对ζ＝0.45，a/ζωn＝5，2，1，0.5的取值，图3-21给出了实际的阶跃响应曲线，表3-2给出了相应的瞬态响应性能指标。从中可以看出，由于零点的存在，使得原来二阶系统阶跃响应的超调量加大了。这是由于

即

从上式可以看出，系统的阶跃响应中包含有标准二阶系统的阶跃响应及该响应的导数，导数项的大小与零点成反比，也就是零点距离虚轴越远，附加零点的影响就越小。

表3-2 二阶系统附加零点对性能指标的影响

例3-1 假设系统的闭环传递函数为

试分析零点﹣2.5和极点﹣6对系统阶跃响应的影响。

解 ①从闭环传递函数可以看出，系统的传递系数（或静态增益）为1，所以系统对阶跃输入的稳态误差为零。系统零极点在S平面上的分布如图3-22（a）所示。

图3-22 例3-1系统的零极点分布与阶跃响应

②应用Matlab进行计算机仿真，可得到单位阶跃响应曲线，如图3-22（b）所示。

a.原三阶系统，超调量σp％＝37％，调整时间ts＝1.6s。

b.忽略极点的系统，超调量σp％＝54.5％，调整时间ts＝1.5s。

c.忽略零点的系统，超调量σp％＝5.5％，调整时间ts＝1.4s。

d.忽略零极点的系统，超调量σp％＝9.5％，调整时间ts＝1.2s。

从以上数据可以看出，由于零极点距离较近，不论是忽略零点，还是忽略极点，都会造成对性能指标的估计误差，所以此时不能忽略零极点的影响。

综合以上分析，可以得出结论：一个不能忽略的零点对系统的影响是使超调量加大，响应速度加快，这是由于零点具有微分作用；一个不能忽略的极点对系统的影响是使超调量减小，调整时间增加，这是由于极点的滤波作用（或称为阻尼作用）。