控制系统信号流图的设计与优化

信号流图和结构图一样，都是控制系统中信号传递关系的图解描述，然而信号流图符号简单，便于绘制和运用。特别在控制系统的计算机模拟研究中，更能显示出信号流图的优越性。图2-52（b）就是一个例子，它与图2-52（a）的结构图相对应。

（1）信号流图的定义

从图中可以看出，信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络。节点标志变量（信号），在图中用小圆圈表示；支路是连接两个节点的定向线段，它有一定的复数增益（即传递函数），称为支路增益，在图中标记在相应的线段旁。信号只能在支路上沿箭头方向传递，经支路传递的信号应乘以支路的增益。为了进一步讨论信号流图的构成和求解系统的传递函数，下面介绍几个常用术语。

①输入节点 只有输出支路的节点称为输入节点，如图2-52（b）中的R，它一般表示系统的输入变量。

②输出节点 只有输入支路的节点称为输出节点，如图2-52（b）中的C，它一般表示系统的输出变量。

图2-52 多回路系统

③混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点，如图2-52（b）中的x2和x3等。在混合节点处，如果有多个输入支路，则它们相加后成为混合节点的值，而所有从混合节点输出的支路都取该值。

④通路 从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点所构成的路径称为通路。通路中各支路增益的乘积叫做通路增益，如图2-52（b）中x3→x4→x5→x6之间的通路。

⑤前向通路 是指从输入节点开始并终止于输出节点且与其他节点相交不多于一次的通路。该通路的各增益乘积称为前向通路增益。如图2-52（b）中R→x1→x2→x3→x4→x5→x6→x7→x8→C的前向通路。

⑥回路 如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的通路称为回路。回路中各支路增益的乘积称为回路增益。如图2-52（b）中x2→x3→x4→x2的回路等。

⑦不接触回路 如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，则称为不接触回路，反之称为接触回路，如图2-52（b）中x2→x3→x4→x2回路与x5→x6→x7→x5回路为两个不接触回路，而x2→x3→x4→x2回路与x3→x4→x5→x6→x3回路有公共节点x3和x4，所以为接触回路。

信号流图可以根据系统微分方程绘制，也可以由系统结构图按照对应关系得出。从结构图变换为信号流图时，只要用小圆圈在结构图的信号线上标志出传递的信号，便是节点；用标有传递函数的线段代替结构图的方框，便得到支路。这样，结构图就变换为相应的信号流图了。

（2）用梅逊（S.J.Mason）公式求传递函数

信号流图可以经过等效变换求出输出量与输入量之间的传递函数。等效变换法则与结构图情况类似。但是，还有另一种更简捷的方法，就是利用S.J.Mason于1956年提出的梅逊公式。借助于梅逊公式，可以不经任何结构变换，便可以直接得到系统的传递函数。当然，由于信号流图与结构图之间存在着对应关系，因此，梅逊公式也可直接用于系统结构图。这里只给出梅逊公式，并举例说明其应用。

梅逊公式的表达式为

G（s）为待求的总传递函数。

式中 △——称为特征式，且△＝1－∑Li＋∑LiLj－∑LiLjLk＋⋯； （2-86）

n——从输入节点到输出节点所有前向通路的条数；

Pk——从输入节点到输出节点第k条前向通路的增益；

△k——在△中，将与第k条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分，称为余子式；

∑Li——所有各回路的回路增益之和；

∑LiLj——所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和；

∑LiLjLk——所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和。

在回路增益中应包含代表反馈极性的正、负符号。

下面以图2-52（b）为例具体说明Pk，△，△k的求法。图中共有四个回路，故

在四个回路中，只有Ⅱ，Ⅲ回路互不接触，没有重合的部分。因此

∑LiLj＝L2L3＝（﹣G2G3H2）（﹣G4G5H3）＝G2G3G4G5H2H3(www.xing528.com)

而

∑LiLjLk＝0

故可得特征式

△＝1－∑Li＋∑LiLj＝1＋G1G2G3G4G5G6H1＋G2G3H2＋G4G5H3＋G3G4H4＋G2G3G4G5H2H3

图2-52（b）中只有一条前向通路。即输入信号只能经G1G2G3G4G5G6传至输出端，因而P1＝G1G2G3G4G5G6。由于所有回路均与前向通路相接触，故余子式△1＝1。

将上述各项代入式（2-85），即可求得图2-52（b）系统的总传递函数

熟悉梅逊公式，将大大简化结构的变换。但当系统结构复杂时，容易将前向通路数或回路数以及互不接触的回路数算错，在使用时应格外注意。

例2-9 求图2-53所示系统的传递函数。

解 从图中可见，回路有四个：L1＝﹣G1G2H1，L2＝﹣G2G3H2，L3＝﹣G1G2G3， L4＝﹣G1G4。回路中L2与L4不接触，所以L2L4＝（﹣G2G3H2）（﹣G1G4）。因而特征式

△＝1－L1－L2－L3－L4＋L2L4＝1＋G1G2H1＋G2G3H2＋G1G2G3＋G1G4＋G1G2G3G4H2

有两条前向通路，故k＝2。第一条前向通路P1＝G1G2G3，与每个回路均有接触，故P1的余子式△1＝1；第二条前向通路P2＝G1G4，与回路L2＝﹣G2G3H2不接触，故P2的余子式△2＝（1＋G2G3H2）。

则由梅逊公式可得系统传递函数

图2-53 例2-9系统结构图

例2-10 图2-54为三级RC滤波网络，试绘制其结构图，并求其传递函数Uc/Ur。

解 将网络分为三个电流回路，回路电流分别为i1，i2，i3。

①绘制结构图。用复阻抗与电压、电流关系，可以直接绘出网络的结构图，如图2-55所示。

图2-54 三级RC滤波网络

图2-55 RC网络结构图

②求传递函数。运用等效法则化简图2-55是比较麻烦的，而采用梅逊公式求传递函数则简便得多。

该结构图有五个反馈回路，回路传递函数均相同，即

故

这五个回路中，可以找出六组两两互不接触的回路，它们是Ⅰ-Ⅱ，Ⅰ-Ⅲ，Ⅰ-Ⅴ，Ⅱ-Ⅲ，Ⅲ- Ⅳ及Ⅳ-Ⅴ，因此

又五个回路中还有一组三个互不接触的回路，即Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ，故

则特征式

而前向通路只有一条，即

且前向通路与各反馈回路均有接触，余子式△1＝1。则由梅逊公式可求得总传递函数