控制系统结构图分析

（1）结构图的概念

首先以RC网络为例说明结构图的一般特点。图2-24中RC网络的微分方程式为

也可写为

图2-24 RC网络

对上面二式进行拉氏变换，得

将式（2-78a）表示成

并用图2-25（a）形象描绘这一数学关系。图中，符号表示信号的代数和，箭头表示信号的传递方向。因为是Ur（s）－Uc（s），故在代表Uc（s）信号的箭头附近标以负号，在代表Ur（s）信号的箭头附近标以正号（为了简化，正号可以省略）。而由输出的信号为△U（s）＝Ur（s）－Uc（s）。△U（s）经1/R又转换为电流I（s），图中方框表明了这种关系。符号常称作“加减点”或“综合点”。

方程（2-79a）可用图2-25（b）表示，流经电容器上的电流I（s）经1/Cs转换为输出电压Uc （s）。将图2-25（a）、图2-25（b）合并，并将输入量置于图的左端，输出量置于右端，同一变量的信号连接在一起，如图2-25（c）所示，即得RC网络的结构图。

图中由Uc（s）线段上引出的另一线段仍为Uc（s），该点称为引出点（或取出点）。需要注意，由引出点引出的信号是一样的，而不能理解为只是其中的一部分。

由上可见，结构图是由一些符号组成的。有表示信号输入和输出的通路及箭头，有表示信号进行加减的综合点以及引出点，还有一些方框，方框内写入传递函数。根据由微分方程组得到的拉氏变换方程组，对每个子方程都用上述符号表示，并将各图形正确地连接起来，即为结构图，又称为方框图。

图2-25 RC网络的结构图

结构图实际上是数学模型的图解化，在分析系统的动态特性时，这将有助于了解信号传递过程中各部分的本质联系，也将有助于了解元件参数对系统动态性能的影响。结构图和微分方程、传递函数一样，也是系统的一种数学模型。

（2）系统结构图的建立

建立系统的结构图，其步骤如下：

①建立控制系统各元部件的微分方程，在建立微分方程时，应分清输入量、输出量，同时应考虑相邻元件之间是否有负载效应；

②对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图；

③按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，置系统的输入变量于左端，输出变量于右端，便得到系统的结构图。

例2-2 位置随动系统如图2-26所示，试建立系统的结构图。

图2-26 位置随动系统原理图

解 该系统各部分微分方程经拉氏变换后的关系式（2-80）为

下一步是作出每个子方程的结构图，如图2-27（a）～（h）所示。这里应按系统中各元件的相互关系，分清各输入量和输出量，如此各结构图才能正确地连接起来，如图2-28。如果略去La，系统结构图如图2-29所示。

图2-27 式（2-80）（a）～（h）子方程框图

图2-28 位置随动系统结构图

图2-29 La＝0的位置随动系统结构图

例2-3 试绘制图2-30所示无源网络的结构图。

解 对于较简单的多级无源网络以及一些运算电路，往往可以运用电压、电流、电阻和复阻抗之间所遵循的定律，不经过列写微分方程及拉氏变换而直接建立结构图。

图2-30 例2-3网络图

图2-31 例2-3网络的结构图

本例中，ur为网络输入，uc为网络输出。（ur－uc）为R1与C并联支路的端电压，流经R1与C的电流i1与i2相加为i，而iR2＝uc。根据这些关系，可立即绘出如图2-31的网络结构图。

值得指出的是，一个系统或者一个元件，其结构图不是惟一的，可以绘出不同的形式。然而它们表示的总的动态规律是惟一的，经过变换求得的总传递函数都应该是完全相同的。上例所示网络的结构图还可用图2-32表示。

图2-32 例2-3网络结构图的另一种形式

例2-4 绘制两级RC网络（见图2-33）的结构图。

解 这是两个简单RC网络的串联。利用复阻抗概念，可直接绘出其结构图，如图2-34。

图2-33 两级RC串联网络的线路图

图2-34 两级RC申联网络的结构图

从图中明显地看到，后一级网络作为前一级网络的负载，对前级网络的输出电压u1产生影响，此即所谓负载效应。这表明，不能简单地用两个单独网络结构图的串联，表示组合网络的结构图。如果在两级网络之间，接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-35所示，则该电路的结构图就可由两个简单的RC网络结构图组成，如图2-36所示，这时，网络之间的负载效应已被消除。

图2-35 带隔离放大器的两级RC网络

图2-36 图2-35的结构图

（3）结构图的等效变换

为了进一步计算系统的动态过程性能，需要对系统的结构图进行运算和变换，求出总的传递函数。这种运算和变换，就是设法将结构图化为一个等效的方框，而方框中的数学表达式即为总传递函数。变换的实质相当于对方程组进行消元。

结构图的变换应按等效原理进行。所谓等效，即对结构图的任一部分进行变换时，变换前、后输入输出总的数学关系保持不变。另外，变换应尽量简单易行。

①结构图的基本组成形式。

从前述的一些示例中可以看到，结构图的基本组成形式可分为三种。

a.串联连接 方框与方框首尾相连。前一个方框的输出，作为后一个方框的输入，这种结构形式称为串联连接。这是在许多系统的结构图中经常见到的结构。如图2-28中Ks与Ka两个方框即为串联连接。

b.并联连接 两个或多个方框，具有同一个输入，而以各方框输出的代数和作为总输出，这种结构称为并联连接。图2-31中1/R1与Cs两个方框即为这种连接形式。

c.反馈连接 一个方框的输出，输入到另一个方框，得到的输出再返回作用于前一个方框的输入端，这种结构称为反馈连接，如图2-37所示。

图2-37 反馈连接

图中A处为综合点，两个信号代数相加后的E（s），作为G（s）方框的输入，而G（s）的输出，作为H（s）方框的输入，并经H（s）又返回作用于G（s）方框的输入端，从而构成了由前向通路和反向通路组成的反馈连接形式。返回至A处的信号取“＋”，称为正反馈；取“－”，称为负反馈。负反馈连接是控制系统的基本结构形式。

图中由B点引出的信号均为C（s），而不能理解为只是C（s）的一部分，这是应该注意的。结构图中引出信息的点（位置）常称为引出点。

任何复杂系统的结构图，都不外乎由串联、并联和反馈三种基本结构交织组成。

②结构图的等效变换法则。

下面依据等效原理推导结构图变换的一般法则。

a.串联方框的等效变换两个传递函数分别为G1（s）与G2（s）的环节，以串联方式连接，如图2-38（a）所示。现欲将二者合并，用一个传递函数G（s）代替，并保持R（s）与C（s）的关系不变。

图2-38 串联结构的等效变换

由图2-38（a）可写出

U（s）＝G1（s）R（s）

C（s）＝G2（s）U（s）

消去U（s），则有

C（s）＝G1（s）G2（s）R（s）＝G（s）R（s）

G（s）＝G1（s）G2（s） （2-81）

所以

等效结构如图2-38（b）所示。

式（2-81）表明，两个传递函数串联的等效传递函数，等于该两个传递函数的乘积。

上述结论可以推广到多个传递函数的串联。如图2-39所示。n个传递函数依次申联的等效传递函数，等于n个传递函数的乘积。

图2-39 n个方框串联的等效变换

b.并联连接的等效变换传递函数分别为G1（s）与G2（s）两个环节并联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的代数和，即

G（s）＝G1（s）±G2（s）（2-82）

等效变换结果见图2-40（b）。(www.xing528.com)

由图2-40（a）可写出

C1（s）＝G1（s）R（s）

C2（s）＝G2（s）R（s）

C（s）＝C1（s）±C2（s）

图2-40 两个方框并联的等效变换

经代换得

C（s）＝G1（s）R（s）±G2（s）R（s）＝[G1（s）±G2（s）]R（s）＝G（s）R（S）

于是式（2-82）成立。

式（2-82）表明两个传递函数并联的等效传递函数，等于各传递函数的代数和。

同样，可将上述结论推广到n个传递函数的并联。图2-41（a）为n个方框并联，其等效传递函数应等于该n个传递函数的代数和，如图2-41（b）所示。

图2-41 n个方框并联的等效变换

c.反馈连接的等效变换 图2-42（a）为反馈连接的一般形式，其等效变换结果如图2-42（b）所示。

图2-42 反馈连接的等效变换

由图2-42（a）按照信号传递的关系可写出

C（s）＝G（s）E（s）

B（s）＝H（s）C（s）

E（s）＝R（s）±B（s）

消去E（s）和B（s），得

因此

故将反馈结构图等效简化为一个方框，方框内的传递函数为式（2-83），称其为系统的闭环传递函数。式中分母上的加号，对应于负反馈；减号对应于正反馈。

若反馈通路的传递函数H（s）＝1，常称作单位反馈，此时

式（2-81）～式（2-84）为结构变换中最常用的基本公式，也称基本变换法则。

d.综合点与引出点的移动在图2-34两级RC串联网络的结构图中，三个反馈回路都不是相互分开的，而是通过综合点或引出点相互交叉在一起，因此无法直接应用反馈法则（2-84）进行等效化简。而必须设法将综合点或引出点的位置，在保证总的传递函数不变的条件下作适当的挪动，消除回路间的交叉联系，之后才能进一步变换。

综合点前移 图2-43表示了综合点前移的等效变换。

图2-43 综合点前移的变换

如果欲将图2-43（a）中的综合点前移到G（s）方框的输入端，而且仍要保持信号之间的关系不变，则必须在被挪动的通路上串以G（s）的倒函数方框，如图2-43（b）所示。

挪动前的结构图中，信号关系为

C＝G（s）R±Q

挪动后，信号关系为

C＝G（s）[R±G（s）﹣1Q]＝G（s）R±Q

二者是完全等效的。

综合点之间的移动 图2-44为相邻两个综合点前后移动的等效变换。因为总输出C是R，X，Y三个信号的代数和，故更换综合点的位置，不会影响总的输出输入关系。

挪动前，总输出信号 C＝R±X±Y

挪动后，总输出信号 C＝R±Y±X

图2-44 相邻综合点的移动

二者完全相同。因此，多个相邻综合点之间，可以随意调换位置。

引出点后移 在图2-45中给出了引出点后移的等效变换。

图2-45 引出点后移的变换

将G（s）方框输入端的引出点，移到G（s）的输出端，仍要保持总的信号关系不变，则在被动的通路上应该串入G（s）的倒函数方框，如图2-45（b）所示。如此，挪动后的支路上的信号为

相邻引出点之间的移动 若干个引出点相邻，这表明是同一个信号输送到许多地方去。因此，引出点之间相互交换位置，完全不会改变引出信号的性质。亦即这种移动不需作任何传递函数的变换，如图2-46所示。

图2-46 相邻引出点的移动

关于综合点后移和引出点前移的等效变换，读者可自行推证，此不赘述。

③结构图变换举例。

例2-5 对图2-25（c）的结构图进行结构变换，求出RC网络的传递函数。

解 利用串联法则（2-81），求得前向通路的等效传递函数G（s）＝1/RCs，则图2-25（c）化为图2-47（a）。再由反馈法则（2-84）变换得图2-47（b），方框中即为网络传递函数。

图2-47 RC电路结构图等效变换

例2-6 根据图2-29，求位置随动系统的闭环传递函数GB（s）[即θc（s）/θr（s）]。

解 由于需要求解的是θc（s）对θr（s）的传递函数，因此，根据线性系统的叠加原理，可取力矩ML＝0。

图2-29系统结构图有两个反馈回路，里面的称为局部反馈回路，外面的称为主反馈回路。等效变换时，从内部开始，由内向外逐步简化。

首先将局部反馈回路中的前向通路合并成一个方框，则图2-29变为图2-48（a）；再运用反馈法则将局部反馈回路化简为一个方框，得到图2-48（b）；继而用串联法则可化简为图2-48（c），最后用单位反馈变换法则将结构图简化为一个方框（见图2-48（d）），即求得θc（s）与θr（s）的关系式。

例2-7 简化图2-49所示系统的结构图，并求系统传递函数GB（s）（即C（s）/R（s））。

解 这是一个多回路结构图，且有引出点、综合点的交叉。为了从内回路到外回路逐步化简，首先要消除交叉连接。方法之一是将综合点后移，然后交换综合点的位置，将图2-49化为图2-50（a）。

然后，对图2-50（a）中由G2，G3，H2组成的小回路实行串联及反馈变换，进而简化为图2-50（b）。

其次，对内回路再实行串联及反馈变换，则只剩一个主反馈回路。如图2-50（c）。

最后，再变换为一个方框，如图2-50（d），得系统总传递函数

图2-48 图2-29结构图的等效变换过程

图2-49 多回路系统结构图

图2-50 图2-49系统结构图的变换

第一步的变换也可采用其他的移动办法，读者可自行试作。

例2-8 将图2-34所示两级RC网络串联的结构图化简，并求出此网络的传递函数G（s）[即Uc（s）/Ur（s）]。

解 图2-34结构图中，有两处引出点与综合点交叉。为将反馈回路单独分离出来，必须移动综合点与引出点。这里应该注意：I1（s）与I2（s）相减处的综合点不宜向后移动，而应前移。否则，将会出现一个综合点与一个引出点相邻，而且仍是交叉结构，还需再交换位置。可以一试，这相邻的两个不同性质的点作相互交换位置的等效变换，将使结构愈加复杂化，一般是力求避免的。同样理由，I2（s）的引出点宜向后移动，而不宜向前移。

将上述综合点与引出点移动后，消除了交叉关系，如图2-51（a）所示；然后化简两个内回路，得到图2-51（b）；最后实行反馈变换，即得网络传递函数，见图2-51（c）。

图2-51 图2-34结构图的变换

从以上几个例子，可以归纳出简化结构图求总传递函数的一般步骤。

a.确定输入量与输出量，如果作用在系统上的输入量有多个（分别作用在系统的不同部位），则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。对于有多个输出量的情况，也应分别变换。

b.若结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。

c.对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。