传递函数概念简述

研究图2-14所示的RC电路中电容的端电压uc（t）。根据克希霍夫定律，可列写如下微分方程

图2-14 RC电路

消去中间变量i（t），得到输入ur（t）与输出uc（t）之间的线性定常微分方程

现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的初始电压uc（0），得

RCsUc（s）－RCuc（0）＋Uc（s）＝Ur（s）（2-63）

式中 Uc（s）——输出电压uc（t）的拉氏变换；

Ur（s）——输入电压ur（t）的拉氏变换。

由上式求出Uc（s）的表达式

当输入为阶跃电压ur（t）＝u0·1（t）时，对Uc（s）求拉氏反变换，即得uc（t）的变化规律

图2-15 RC网络的阶跃响应曲线

式中第一项称为零状态响应，它是由ur（t）决定的分量；第二项称为零输入响应，它是由初始电压uc（0）决定的分量。图2-15表示各分量的变化曲线，电容电压uc（t）即为两者的合成。在式（2-65）中，如果把初始电压uc（0）也视为一个输入作用，则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压ur（t）和初始电压uc（0）作用时，电路的输出响应。若uc（0）＝0，则有

上式表明，当输入电压ur（t）一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc（s）完全由1/（RCs＋1）所确定，式（2-66）亦可写为

由上式看出，当初始电压为零时，无论输入电压ur（t）是什么形式，电路输出响应的象函数与输入电压的象函数之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数。因此，可以用式（2-67）来表征电路本身的特性，称做传递函数，记为(www.xing528.com)

式中T＝RC。显然，传递函数G（s）确立了电路输入电压与输出电压之间的关系。

图2-16 传递函数

传递函数可用图2-16直观表示。图中，方框内写传递函数，进入方框的箭头表示输入信号，离开方框的箭头表示输出信号。该图表明了电路中电压的传递关系，即输入电压Ur（s），经过G（s）的传递，得到输出电压Uc（s）＝G（s）Ur（s）。由RC电路得到的传递函数的概念，可以推广到一般的元件或系统。现在对传递函数作如下定义：

线性（或线性化）定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。

若线性定常系统由下述n阶微分方程描述

式中c（t）是系统输出量，r（t）是系统输入量，a0，a1，⋯，an，b0，b1，⋯，bm是与系统结构参数有关的常系数。

令C（s）＝L[c（t）]，R（s）＝L[r（t）]，在初始条件为零时，对式（2-68）进行拉氏变换，可得到s的代数方程

[ansn＋an－1sn－1＋⋯＋a1s＋a0]C（s）＝[bmsm＋bm－1sm－1＋⋯＋b1s＋b0]R（s）

根据传递函数的定义，由式（2-68）描述的线性定常系统的传递函数

式中 M（s）＝bmsm＋bm－1sm－1＋⋯＋b1s＋b0为传递函数的分子多项式；

D（s）＝ansn＋an－1sn－1＋⋯＋a1s＋a0为传递函数的分母多项式。

传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义，一是指输入作用是在t＝0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在t＝0时的值均为零；二是指系统在输入作用加入前是相对静止的，因此，系统输出量及其各阶导数在t＝0时的值也为零。现实的控制系统多属此类情况，这时，传递函数可以完全表征系统的动态性能。