建立系统数学模型的演绎法

数学模型有动态模型与静态模型之分。描述系统动态过程的方程式，如微分方程、偏微分方程、差分方程等，称为动态模型；在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述系统各变量之间关系的方程式，称为静态模型。本课程的重要内容之一是介绍控制系统的动态模型，即线性定常微分方程，分析系统的动态特性。

同一个物理系统，可以用不同的数学模型来表达。例如，实际的物理系统一般含有非线性特性，所以系统的数学模型就应该是非线性的。而且严格的讲，实际系统的参数不可能是集中的，所以系统的数学模型又应该用偏微分方程描述。但是求解非线性方程或偏微分方程相当困难，有时甚至不可能。因此，为了便于问题的求解，常常在误差允许的范围内，忽略次要因素，用简化的数学模型来表示实际的物理系统。这样同一个系统，就有完整的、精确的数学模型和简单的、准确性较差的数学模型之分。一般情况下，在建立数学模型时，我们必须在模型的简化性与分析结果的精确性之间做出折中考虑。

此外，数学模型的形式有多种。为了便于分析研究，可能某种形式的数学模型比另一种更合适。例如在求解最优控制问题或多变量系统的问题时，采取状态变量表达式（即状态空间表达式）比较方便；但是在对单输入、单输出系统的分析中，采用输入输出间的传递函数（或脉冲传递函数）作为系统的数学模型比较合适。

所以在建立系统数学模型时，必须做到以下几点。(www.xing528.com)

①全面了解系统的特性，确定研究目的以及准确性要求，决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模型简化，既不致造成数学处理上的困难，又不致影响分析的准确性。一般在条件允许下，最初尽可能采用简化的常系数线性数学模型。若有必要，再在线性模型分析的基础上考虑被忽略因素所引起的误差，然后再建立系统比较完善准确的数学模型。但是必须指出，由于数学分析方法上的误差，数学模型不必要的复杂，有时不一定会带来预期的准确结果。

②根据所应用的系统分析方法，建立相应形式的数学模型（微分方程、传递函数等），有时还要考虑便于计算机求解。

建立系统的数学模型主要有两条途径。第一种途径是利用已有的关于系统的知识，采用演绎的方法建立数学模型。演绎法是一种推理方法，用这种方法建立模型时，是通过系统本身机理（物理、化学规律）的分析确定模型的结构和参数，从理论上推导出系统的数学模型。这种利用演绎法得出的数学模型称为机理模型或解析模型。第二种途径是根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。这种方法称为归纳法，利用归纳法所建立的数学模型称为经验模型。一般地讲，采用演绎法建立的数学模型，是系统模型化问题的惟一解。而采用归纳法时，能够满足观测到的输入、输出数据关系的系统模型却有无穷多个。在本书范围内，仅介绍演绎法，即利用机理法建立系统数学模型的内容。