可靠度方法计算大坝破坏概率

众所周知,工程设计是在大量不确定性和存在某些未知因素的情况下进行的,工程师们已经习惯将各种设计条件、各种指标和参数都定量化,并选用一定的计算模式来进行计算。例如,早期工程结构设计采用容许应力法,即

式中:[σ]为容许应力;K为安全系数;R为材料强度。

随后又出现了破坏阶段设计法等方法。这些方法的共同点是都引入了大于1.0的安全系数K,称为安全系数法。长期实践证明,安全系数法不够科学,原因是:

(1)安全系数是根据经验粗略确定的数值,它使结构设计非常粗糙。

(2)全系数法不能作为度量结构可靠度的统一尺度。理论和实践都证明了安全系数的大小只能反应同一类型的某种受力状态下结构的安全度,不同类型的结构或不同受力状态的同一结构,即使安全系数相同,也不能认为具有相同的安全度。

(3)加大结构的安全系数,不一定能按比例增加结构的安全度。

传统安全系数法设计中之所以存在上述问题,原因在于未考虑如下事实:材料性能、构件尺寸以及结构的外来作用都是随机的几何量或物理量,不是确定的单值量。安全系数法只是把这些不确定量用一个笼统的安全系数掩盖起来。为此,发展了一门新的学科——结构可靠度,它承认工程变量是随机变量,基于此算出概括结构可靠性的各种量值(可靠度、可靠指标),用以设计或校核结构。

2.6.1 可靠度的定义

可靠度定义为:结构在规定的时间内,在规定的条件下,完成预定功能的概率。可靠度摒弃了传统安全系数因果对应的确定性概念,承认一因多果的实事。

规定的作用条件,是指设计所预计的环境条件、指定的施工条件和正常使用的条件。

规定的使用期限,即有效服务期,是指结构不需进行大修即可按其预定目标使用的时段[13]。可靠度与时间有着密切的关系,没有时间概念就无所谓可靠度。可靠度计算中,根据结构不同的使用期限和重要程度,选定极限条件的再现期,并估计其发生概率。因此,超过了规定时间,相当于超过了规定的条件。虽然不是超过了规定时间就立即不能使用,但破坏概率必将逐渐增大,甚至超过原设计给定的允许值。而且规定期限的可靠度是基于总体的平均估计,不反映结构的动态变化。

预定的功能,由工程结构的安全性、实用性和时效性来表征。三者相互依存,没有安全性,就失去了使用价值;没有实用性,安全性毫无意义。从使用角度看,安全性与实用性都必须有时间坐标,即时效性。若实现了规定的性能指标,则称为完成了预定的功能,否则即丧失功能。完成功能和丧失功能均以概率值度量。一般性能指标突出反映在安全性上,即以结构不达到极限状态来衡量。

描述可靠度的指标有3类:①安全概率Pr;②失效概率P f;③可靠指标β。其中,Pr+P f=1.0。可靠指标β与安全概率P r、失效概率P f均具有一一对应关系。

2.6.2 可靠度理论发展过程[14]

在国外,可靠度的研究开始于20世纪30年代,主要围绕飞机失事进行研究;40年代开始用于结构设计中;1946年,苏联人尔然尼钦提出一次二阶矩理论、失效概率计算方法和可靠指标计算公式;1969年,美国柯涅尔提出了以可靠指标β作为衡量结构安全度的统一指标,为可靠度分析的实用化作出了重要贡献;20世纪70年代初,成立了“结构安全度联合委员会(JCSS)”,标志着可靠度分析进入实用阶段;1976年,JCSS依据“当量正态”方法,在可靠指标计算时考虑随机变量实际分布,大大提高了计算精度;国际标准化组织(ISO)先后于1973年和1986年提出了《结构可靠性总原则》,为可靠度分析在工程中的推广,起到了良好的作用。

中国对结构可靠度问题的研究工作较晚[15]。20世纪50年代中期,开始采用苏联提出的极限状态设计法;60年代,土木工程界广泛开展结构安全度的研究与讨论;70年代,开始把半经验半概率的方法用到建筑、铁路、港口、公路、水利水电等结构设计的规范中去;90年代以后先后完成了GB50158—92《港口工程结构可靠度设计统一标准》、GB50216—94《铁道工程结构可靠度设计统一标准》、GB50199—94《水利水电工程结构可靠度设计统一标准》、GB/T50283—1999《公路工程结构可靠度设计统一标准》及GB50068—2001《建筑结构可靠度设计统一标准》的编制工作,标志我国结构领域中可靠度设计法已逐步进入实用阶段。

2.6.3 可靠度分析方法在岩土工程中的发展现状

岩土工程可靠度问题是工程可靠度研究中比较困难的问题,其发展落后于结构可靠度的发展,国内外均如此。国外对于岩土工程可靠度的研究始于20世纪60年代末,在诸如海洋平台、边坡稳定、挡土墙设计等方面已开始应用,并取得了成功。

在我国,岩土工程可靠度研究始于20世纪80年代初,研究领域涉及地基承载力、土坡稳定、地基沉降、桩基、重力坝应力分析、拱坝重力墩等方面。目前,对工程岩土特性指标的统计方法研究也日益深入,这将有助于岩土工程可靠度设计与分析的发展。

近年来,可靠度分析方法在土石坝工程中也得到了较快的发展。李君纯等[16]提出了土石坝工程安全度包括防洪、抗滑、抗裂、抗渗、抗震及抗生物破坏方面的研究,对其中抗裂、抗滑两个方面做了较系统的可靠度分析方法研究[17];陈肇和、李其军等对漫坝风险利用可靠度的理论进行了研究[18,19];吴良骥[20]对无粘性土的反滤保护的可靠度进行了系统的探讨。

可靠度分析方法在岩土工程中的广泛展开,及其在土石坝安全评价中的深入发展,为渗透稳定可靠度分析的研究打下了良好的基础。

2.6.4 可靠度理论综述

可靠度分析过程分为3个步骤:

(1)搜集结构随机变量的观测或试验资料,用统计方法求出其分布规律及有关的统计量,作为可靠度计算的依据。

(2)用力学方法计算结构的荷载效应,通过试验获得结构抗力,以建立结构的破坏标准。破坏标准由规范决定,联结了结构抗力与荷载效应,组成可靠度计算的极限状态方程。

(3)概率理论计算满足结构破坏标准下结构的可靠度。

由上述过程可知,随机变量概率特征的确定、可靠指标β的计算是可靠度分析的两个基本内容。

2.6.4.1 随机变量的统计理论

2.6.4.1.1 岩土参数的预处理

如果一组测值中混入含有粗差的异常数据,对它们进行分析,必然会得出与客观实际相悖的结论,且工程勘察数据一般属小子样,数据量有限,若不剔除异常数据,则会影响到参数概率特性的可靠性。

相反,一组正确的测试数据也可能分散性较大,但反应了客观事实。若人为舍弃主观上认为误差过大但并非为异常的数据,则会导致统计结果异常。故粗差的鉴别与舍弃必须按一定的准则,决不能主观随意确定。在剔除粗差时既要避免取伪的错误,又要避免弃真的错误。

常用异常值检验方法有格鲁布斯检验法、偏度—峰度检验法、狄克松检验法、拉依达检验法、肖维特检验法、t检验法、2s或3s法、r检验法等,不同方法的适用条件不同。在此介绍最简单的2s或3s法,其他方法可参见相关资料[12]。

当某测值与均值的偏差大于2倍或3倍标准差s时,若将其与其他测值共同做统计分析,则会降低均值与标准差的精度,导致计算结果的偏差。此时可采用2s或3s作为舍弃离群值的界限值,将偏差大于2s或3s的个别测值剔除。该法适用于简单处理观测数据的情况。

2.6.4.1.2 随机变量概型的选择

可靠度分析中,需以某概率模型描述随机变量的不确定性。实际处理时,要在充分认识随机变量物理特征的基础上,分析随机变量的统计规律性,建立适宜的概率模型。正确选择概型、估计概率特征参数是可靠度分析的关键之一,因为它决定分析结果的准确性。但严格表达随机变量的概率分布往往很困难,特别是作为无限样本母体的地质体,不可能无限地抽样,其概率模型更难建立,这就需要尽可能多地占有随机变量的相关信息。但是,任何模型都不可能反应客体的一切特征,而只是对客体特征及其变化规律的一种近似。因此,从工程概念来说,既要尽力提高概型的真实性,又要承认概型的相对性。

岩土工程中,常见的概型分布有正态分布、对数正态分布和极值Ⅰ分布等。松尾稔[21]曾对一些主要土性参数的概率特性做过详细研究,如孔隙比、含水量、抗剪强度、固结系数等,大部分符合正态分布和对数正态分布。

2.6.4.1.3 随机变量概型分布的检验

岩土工程可靠度分析中,对基本变量的概率分布进行假定后,还需采用统计假设检验方法,对假设分布进行有效性检验。检验步骤如下:

(1)建立假设。根据频率直方图,假定某一理论概型分布。

(2)计算统计量。依据观测数据,利用概型检验法计算检验统计量。

(3)确定检验标准。根据实际问题的要求,确定置信度α,确定统计量标准。

(4)做出判断。依据统计量标准,做出拒绝或不拒绝假设分布的判断。

概型假设检验方法有多种,常用的有x 2法、K—S法和A—D法[22]。x 2法要求子样数量较大,要求满足“三个5”原则[14],即子样至少分5组,每组要有5个以上测值,每组理论频率要不小于5%。对于土工参数来说,往往子样数较小,难以满足“三个5”原则,故在选择概型检验法时多采用K—S法或A—D法。

(1)K—S法检验。K—S检验法适用于小子样情况,其基本思想是:将子样经验分布函数F n(x)与假设的理论分布函数F x(x)相比较,建立统计量。设样本容量为n,按经验分布函数的建立方法,求得分段累积频率,即

式中:x 1、x 2、…、x n为排列后的样本数据;F n(x)为阶梯型曲线。

在随机变量x的全部范围内,若F n(x)和F x(x)之间最大差异为

则可认为在显著水平α上拟采用的分布不能被拒绝,否则应予以拒绝。式(2.6)中D n是一个随机变量,其分布依赖于n,Dαn为显著水平α上的临界值。

(2)A—D法检验。同K—S法一样,A—D法基于子样经验分布函数F n(x)和理论分布函数Fn(x)得到检验结果。该法对子样容量为n的变量X,根据一个统计量A 2n和相应的检验临界值A 2n,α作比较,判断假定的分布是否不被拒绝。在假定分布下,统计量由

概型检验过程中,经常会出现在同一置信水平下,几种分布均被接受的情况,此时可用下式简单判别[23]:

式中:ψ为拟合度;Sv为统计量;Cv为接受原假设时统计量的允许最大值。在相同条件下,优先选用ψ大的概型。

2.6.4.1.4 随机变量概率分布参数的确定

均值、标准差和变异系数是描述随机变量的3个基本特征值,当样本容量较大时,一般利用矩法、最大似然法估计均值和标准差。

当样本容量较小时,其数据量不足以准确地确定概率特性,此时该变量的先验信息非常重要。贝叶斯法能较好地避免因样本容量不足引起的偏差,依据该变量的先验信息和小样本数据,较准确地确定它的概率特征参数。这里不再赘述,详情可参见相关资料[24]。

2.6.4.1.5 参数自相关性(www.xing528.com)

参数自相关性,是指某参数在土体内不同位置的相关性。土体在施工、沉积过程中可能处于相似的环境,矿物成分和粒径组成也相类似,故某点土特性在一定范围内与附近点土特性具有相关性[25],即空间自相关性。将其视为纯随机变量,将丢失固有的空间自相关性,故不能准确地反映参数的空间变异性。以地质统计学方法对岩土参数空间变异性的评价为基础,对土工参数做随机场模拟,可有效地考虑参数的空间自相关性[26]。

对于天然地基,因土体未经人工开发,其沉积过程可能处于相似的环境,矿物成分和粒径组成也相类似,故某点土特性在一定范围内与附近点土特性具有空间自相关性,此时需对土体做随机场模拟。

与天然地基不同,对于土石坝系统,其坝体填料由于受到人工的影响较大,而受天然作用的影响较小。由于坝体、非天然坝基填料均已经过人工处理,某点与附近点之间类似的沉积环境、矿物成分和粒径组成被随机地破坏,即空间自相关性被破坏。故无需对土体做随机场模拟,对某参数仅用一个随机变量即可描述其在整个土层内的概率特性。

2.6.4.1.6 参数互相关性的处理

顾名思义,互相关性指不同随机变量之间的相关性。设有随机变量x 1、x 2,两者的相关性可用相关系数表达,即

2.6.4.2 可靠指标2.6.4.2.1 基本概念

设工程的可靠度受n个随机变量的影响,其功能函数可表达为:

式中:Z为功能出数,当Z＞0时,工程处于可靠状态,当Z=0时,工程处于极限状态(极限状态方程),当Z＜0时,工程处于失效状态;x i(i=1,2,…,n)为工程上的作用效应、性能等基本变量。

图2.6　失效概率Pf

式中:f z(x 1,x 2,…,x n)为Z的概率密度函数。当Z为正态分布的随机变量时,P f可直接由Z的统计量确定,即

引入符号β,并令

则有

式中:β为可靠指标。

工程的安全概率与可靠指标之间的关系可表达为:

由式(2.19)可知:β增加,工程安全概率Pr增大;β减小,工程安全概率P r减小。因而β可用于表征工程的可靠程度。

2.6.4.2.2 可靠指标与安全系数的关系

传统稳定分析中结构安全状况用安全系数K来表示,用均值表达的平均安全系数可定义为:

式中:δR、δS分别为R、S的变异系数。

从式(2.21)可以看出,代表工程可靠度的可靠指标,不仅与安全系数K有关,还与R、S分布规律和变异系数δR、δS有关。显然,采用可靠指标β表示结构安全度比用安全系数更科学、更合理,当随机变量变异性越大时,这种优越性越为明显。

2.6.4.2.3 一般可靠指标的计算方法[14]

可靠指标的计算方法众多,主要有一次二阶矩法、JC法、蒙特卡罗法、随机有限元法等。

(1)一次二阶矩法。取极限状态方程为:

(2)JC法。实际可靠度分析中,很多基本随机变量不服从独立正态分布。

(3)蒙特卡罗法。又称统计试验法,是可靠度计算中适应性较强的一种计算方法。由概率论可知,某事件的概率可由大量重复性试验中该事件发生的频率估计,蒙特卡罗法的步骤如下:

1)对各随机变量进行大量的随机抽样,获得各变量的实现x i(i=1,2,…,n);

2)将抽样值x i(i=1,2,…,n)代入功能函数表达式,计算功能函数值z i,即

3)设抽样数为N,每组抽样变量的实现对应的功能函数值为z i,z i≤0的次数为L,则结构失效概率为:4)由公式Pr=1-P f=Φ(β)计算结构可靠指标β。

蒙特卡罗法关键在于求已知分布变量的随机数。首先利用取中法、加同余法等方法产生在区间(0,1)内的均匀分布随机数,后将其变换成给定分布的变量的随机数。

蒙特卡罗法的精度与取样数目有关,要求取样数目N≥100/P f,由于P f一般较小,故此法所需样本数目很大。

(4)随机有限元法。随机有限元法是一种利用确定性有限元法和概率理论求解随机结构可靠度的数值方法,主要包括随机结构的离散化和随机有限元控制方程的求解。随机结构的离散是在确定性有限元离散基础上进行随机场的离散,主要方法有:点离散化法、形函数插值法、空间局部平均法、加权积分法和级数展开法等;随机有限元控制方程求解方法有:Taylor级数展开法、摄动法、Neumann级数展开法、线性偏导法等。由于该法分析过程较复杂,在此不过多阐述,详情可参见相关文献[27]。

2.6.4.2.4 截尾分布条件下可靠指标的计算方法

大部分岩土参数仅在有限范围内有定义,超出这个范围便失去了物理意义。忽略随机变量截尾分布,使得该变量在物理机理上失真。例如,在岩土工程中,将渗透系数与抗渗强度作为随机变量,其值小到一定程度不会再小,至少不会小于零;正常情况下,上游水位不会大于坝高。前者为左截尾;后者为右截尾。可见,参数物理机理所规定的有限定义域与正态分布的无限定义域之间存在着矛盾,用正态分布计算的尾部概率中有相当一部分不可能出现,这就是不考虑截尾分布时概率估计失真的内在物理原因。一般认为,抗力项需左截尾,荷载项需右截尾。

不考虑截尾分布的JC法对随机变量的要求是:有完整的分布,即要求分布曲线有“尾巴”部分,当分布曲线无“尾巴”部分时,可靠指标按下面方法计算,计算示意图如图2.7所示。

图2.7　截尾分布示意图

2.6.4.2.5 模糊随机可靠指标的计算方法

不仅基本参数具有随机性,而且结构失效判别准则还具有模糊性,模糊随机可靠度是对一般可靠度理论的拓展。

(1)模糊随机可靠度的基本理论。设工程的模糊随机功能函数为:

失效判别准则具有模糊性,并非一般可靠度理论中Z＞0时工程处于可靠状态、Z=0时工程处于极限状态、Z＜0时工程处于失效状态,而是在失效边界附近存在一过渡区域[图2.8(a)],此区域内无明显的安全与失效界限,安全与否应以概率形式表达,需利用模糊数学方法表达过渡区的含义。

图2.8　模糊随机可靠度

图2.9　隶属度函数分布

再依据一般可靠度计算方法,计算初始指标β0。