混沌预报的基础理论

20世纪下半叶，非线性科学获得了前所未有的迅速发展，作为一门研究非线性现象共性的基础科学，它与量子力学和相对论并称为20世纪自然科学的 “三大革命之一”。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且具有广泛的应用前景，它几乎涉及自然科学和社会科学的各个领域，并不断改变着人们对于现实世界的某些传统看法。客观事物的运动除了周期、准周期和定常等状态以外，还存在着一种更具普遍意义的运动形式即混沌。一般认为，混沌是指确定系统中出现的一种貌似无规则的、类似随机的现象。对于确定性的非线性系统出现的具有内在随机性的解，就称为混沌解。自1975年混沌作为一个科学名词首次在文献中出现以来，混沌科学取得了迅猛发展。混沌行为广泛存在于自然现象和社会现象中，对混沌理论和方法的研究将会大大加深对这些自然、社会现象的认识。

3.4.1.1 混沌特征

混沌运动不同于定常运动，是具有特殊性态特征的运动形式。以下将简述混沌运动的主要特征。

（1）对初始条件的极端敏感性。复杂动力系统只有通过非线性数学模型才能精确地描述。混沌是由非线性系统产生的。即使是在一些形式简洁的非线性确定方程中，初始值的微小变化也将导致系统行为的巨大差异，表现出与随机现象类似的行为，这就是混沌行为对初始条件的极端敏感性。非线性作用使系统运动的差异呈指数型增长趋势，结果使得初始值的微小不确定性增大到完全无法预测的地步。因而混沌行为具有长期不可预测性。

（2）奇怪吸引子的存在。奇怪吸引子是混沌现象在相空间的一个基本标志，可以对其引入定常态的分布函数进行统计描述。各种运动模式在演化过程中衰亡，最后只剩下少数自由度决定系统的长期行为，即耗散系统的运动最终趋向维数比原始相空间维数低的极限集合——吸引子。长期以来，动力系统研究的是耗散系统的规则性态，即简单吸引子 （平常吸引子，如不动点、极限环、环面）上出现的定常性态。奇怪吸引子完全不同于简单吸引子，它的出现与运动轨道的不稳定性密切相关。由于对初始条件的敏感性，运动沿着某些方向指数分离，因而无穷次地伸长和折叠从而了形成奇怪吸引子。

（3）自相似性。自相似性指在混沌区内任取其中一个小单元，放大来看都和原来混沌区一样，具有和整体相似的结构，包含着整个系统的信息。自相似性是分形的基本特征，而分形维数是其一个定量表征，常常具有非整数维。对于混沌而言，分维形态不是指它的实际几何形态，而指其行为特征。

（4）普适性。普适性是指运动趋向混沌时所表现出来的共同特征，它不依赖具体的系统及系统的运动方程而变。

混沌科学发展到今天，仍缺乏一个全面而科学的定义来描述混沌运动的特点。因此，如何根据以上混沌运动的特点识别动力系统中的混沌特性，并进行定性和定量的研究，还需要学者们继续关注和深入研究。

3.4.1.2　相空间重构

混沌的离散情况常常表现为混沌时间序列。混沌时间序列中蕴涵了丰富的动力学信息，如何提取这些信息并应用到实际中是混沌应用的一个重要方面。混沌时间序列预测的理论基础是相空间重构。其基本思想是：系统中任一分量的演化都是由与之相互作用的其他分量所决定的，因此相关分量的动力信息就隐藏在任一分量的发展过程中。重构一个等价的状态空间只需考察一个分量，并将它在某些固定的时间延迟点上的测量值作为新维处理，即将延迟值看成新的坐标，它们确定了某个多维状态空间的一点。重复这一过程并测量相对于不同时间的各延迟量，可以产生许多这样的点，由这些点构成的相空间保存了吸引子的许多性质，即用系统的一个观察量可以重构原动力系统模型。

这样就可以从某一分量的一批时间序列中提取和恢复出系统原来的规律，这种规律是高维空间中的一种复杂但规则的轨迹，即奇异吸引子。Packard等建议用原始系统中某变量的延迟坐标来重构相空间，Takens证明了可以找到一个合适的嵌入维，即如果延迟坐标的维数m≥2D+1，D 是动力系统的维数，在这个嵌入维空间中可以把混沌吸引子恢复出来。

Takens定理：M 为D 维流形，φ：M→M，φ 是一个光滑的微分同胚，y：M→R，y是二阶连续导数，φ（φ，y）：M→R2 D+1，其中

φ（φ，y）=（y（x），y（φ（x）），y（φ2（x）），…，y（φ2 D（x）））

则φ（φ，y）是M 到R2 D+1的一个嵌入。

对混沌系统

Yt+1=F（Yt）

式中 Yt——状态变量，Yt∈RD；

F——光滑连续函数，FRD→RD。

对上式，能够观察到的往往是一个单维的混沌时间序列｛x（t），t=1，2，…，N｝。由相空间重构理论可得该序列m 维相空间中的相点为

X（t）=｛x（t），x（t+τ），…，x［t+（m-1）τ］｝ t=1，2，…，L

L=N-（m-1）τ

其中

式中 m——嵌入维；

τ——时间延迟。

根据Takens定理，当τ选择恰当，且m≥2D+1时，存在确定性映射Fm：Rm→Rm，使得

X（t+1）=Fm（X（t））

上式即为重构系统，与原系统具有相同的动力学特性。

在重构相空间中，嵌入维m 和时间延迟τ 的选取具有十分重要的意义，同时选取合适的值也是很困难的。当嵌入维m＜2D+1时，相空间不能恢复奇异吸引子原有性质；而当嵌入维取值过大时，高维重构相空间将包含过多的冗余信息，因此当嵌入维大于某个最大值时，预测精度会随着嵌入维的增大而单调下降。而对于时间延迟的选取，当取值过小时，时间序列的任意两个相邻延迟坐标点非常接近，不能相互独立，将会导致数据的冗余；当取值过大时，由于蝴蝶效应的影响，时间序列的任意两个相邻延迟坐标点将毫不相关，不能反映整个系统的特性。关于嵌入维和时间延迟的计算，当前主要有以下两种观点：①认为时间延迟和嵌入维的选取是独立进行的，根据这种观点，嵌入维和时间延迟都使用各自的算法分别计算；②认为嵌入维与时间延迟是相关的，通过计算嵌入窗宽 （m-1）τ进行相空间重构，以上算法将在随后章节中进行介绍。

3.4.1.3　嵌入维的仿真与计算

嵌入维的计算是重构相空间的基础，选取合适的嵌入维直接影响到预测的精度。根据Takens定理，通常选择嵌入维m≥2D+1。本节将介绍2种嵌入维算法，分别是G-P算法和C-C算法。

1.G-P算法

G-P算法是由Grassberger和Procaccia联合提出的，其主要步骤如下：

（1）对于时间序列｛x（t），t=1，2，…，N｝，先给定一个较小的嵌入维m0，则可对应一个重构的相空间。

（2）计算关联函数

式中 ｜Y（ti）-Y（tj）｜——相点Y（ti）到Y（tj）之间的距离；

θ（z）——Heaviside函数；

C（r）——累积分布函数，表示相空间中吸引子上两点之间距离小于r的概率。

（3）对于r的某个适当范围，吸引子的关联维D 与累积分布函数C（r）应满足对数线性关系，即d（m）=log2C（r）／log2r。通过拟合求出对应于m0 的关联维数估计值D（m0）。

（4）增加嵌入维数m1＞m0，重复步骤（2）、 （3），直到相应的维数估计值D（m）误差在一定范围，不再随m 的增长而变化为止。此时得到的D 即为吸引子的关联维数。

图3-14为使用G-P算法求解Lorenz吸引子关联维的实例图。

图3-14　拟合d（m）曲线

在图3-14中，d（m）曲线的斜率随着嵌入维的增大而逐步增大，而当嵌入维增大到一定程度时，混沌序列的斜率不再随着嵌入维的增大而增加，而是在一个值附近波动 （图3-15），因此此时的d（m）即为关联维取值。若斜率随着嵌入维增大而不断变大，则可判断该时间序列为随机序列。G-P算法简单易行，是应用最为广泛的关联维算法。但是采用G-P算法计算动力系统实测数据吸引子的关联维数时，诸多因素可能影响估计精度。误差的来源主要有：①实测数据序列的长度N 有限；②采样序列的自相关性；③相空间重构参数的选择和实测数据中附加噪声的影响。

图3-15　曲线斜率随嵌入维的变化

采样序列长度对吸引子关联维数的估计量影响最大，当N→∞时，关联维数估计的各种偏差都会有所改善，为了获取一个较为可靠的关联维估计值，采样序列的长度必须大于某一最小值Nmin。但由于关联维算法的复杂度为O（N2），数据量大大增加，加重了计算负担，因此有关学者提出了改进速度的相应算法。

若序列的相关时间相对于采样时间较长，采样序列的自相关性会使关联积分产生异常肩峰，导致关联维数估计质量下降，甚至得到虚假的估计值。这个问题的解决方法是增加采样时间，适当增大采样间隔，同时采用引入限制短暂分离参数，使该参数大于序列平均周期时间，去除同一轨道前后点之间的关联。

对于噪声影响，尽管噪声对某一初值出发的特定轨线是敏感的，但混沌吸引子的整体结构是稳定的，因此动力系统实测数据中的较小噪声对关联维数计算的影响不大。但度量分形特征的尺度r应大于噪声幅度，当尺度r接近或小于噪声幅度时，关联积分的计算会受到强烈影响。此时需要考虑使用降噪方法，但不宜直接对信号低通滤波来去除高频噪声，因为这有可能人为地提高吸引子的关联维。

2.C-C算法

1999年，Kim、Eykholt和Salas提出C-C 方法，该方法应用关联积分，能够同时估计出延迟时间τ和嵌入窗宽τw。设时间序列为 ｛x（n），n=1，2，…，N｝。Xi（n）=｛xi（n），xi（n+τ），…，xi［n+（m-1）τ］｝（i=1，2，…，M）为相空间中的点。C-C算法具体如下：

（1）将嵌入时间序列的关联积分定义为

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式中 m——嵌入维数；

N——时间序列的长度；

r——临域半径的大小；

τ——延迟时间；

θ（·）——Heaviside单位函数。

关联维数为

其中

（2）将时间序列｛x（n），n=1，2，…，N｝分成t个不相交的时间序列，长度为INT（N／t），INT 为取整，对于一般的自然数t，有

然后计算每个子序列的统计量S（m，N，r，τ）为

式中 Ci——第i个子序列的相关积分。

局部最大间隔可以取S（·）的零点或对所有的半径r相互差别最小的时间点。选择对应值最大和最小两个半径r，定义差量为

ΔS（m，t）=max［S（m，N，ri，t）］-min［S（m，Ni，rj，t）］ i≠j

根据统计学原理，m 取值为2～5；r的取值为σ／2～2σ，σ是时间序列的均方差。得到的方程为

式中 ——所有子序列的统计量S（m，N，rj，t）的均值。

的第一个极小值对应第一个局部最大时间τ，Scor（ti）的最小值对应时间序列独立的第一个整体最大值时间窗口，即延迟时间窗口。

图3-16为使用C-C法求解Lorenz吸引子嵌入窗宽的实例图。

图3-16　C-C法求解嵌入窗宽实例

3.4.1.4　常用混沌预报算法

计算时间序列的嵌入维和时间延迟，即可实现相空间重构。基于相空间重构理论，混沌时间序列预测方法可分为全局法和局域法两类。全局法利用全部的过去信息来预测未来值，因为吸引子的结构非常复杂，所以拟合全局动力方程的难度也往往较大。局域法的思路是：首先找到预测基准点的邻近点，然后以这些邻近点作为混沌序列预测的数据基础进行预测模型的参数识别。Farmer和Sidorowich证明，在相同的嵌入维数下，局域法的预测效果比全局法更好，且局域法的计算量较全局法显著减少。

本节介绍一种以夹角余弦为相关度的加权一阶局域预测法。

假设测量到的电力负荷序列为｛x（t），t=1，2，…，N｝，对其进行相空间重构，得相空间X=｛X1，X2，…，XL｝。

向量α，β间夹角余弦的定义为

夹角余弦值越大，表明向量间夹角越小，相关性越高。

对于重构相空间X=｛X1，X2，…，XL｝，以相点XL 为参考相点，计算其他相点与XL的夹角余弦值c，选取其中最大的M（M=m+1）个值所对应的相点作为参考临域XLi（i=1，…，M）。设cm 为c 中的最大值，根据夹角余弦值大小为临域点加权值P

根据参考临域XLi，对线性拟和参数a、b进行辨识。这里将临域点视为向量，以向量的模和夹角为优化目标，要求拟合相点模尽量逼近目标相点模，并使拟合相点与目标相点夹角最小，即

式中 η——多步外推步长。

由夹角余弦定义展开上式可将

其中

对上式分别求a，b的偏导，得

消去二次项

令

则a=Kb，将其带入式g（a，b）并对b求偏导

计算得

将a，b值带入

可得x（t）序列的η步预测值