附录F 引理4-3证明详解

引理4-3　在所提安全传输方案的约束下，增加约束条件GaVa＝GbV，可达和安全自由度不变，即，若令

其中，，则。

证明：我们将证明给定任意矩阵对（Va，Vb）∈I，总能找到这样的矩阵对，，且使dsa（Va*，Vb）＝dsa（Va，Vb）及dsa（Va*，Vb）＝dsa（Va，Vb）成立。由此证明成立。

任意给定矩阵对，且以下等式成立，

由于所有矩阵都是满秩的，ran{GbVb}＝min{Kb，Ne}成立。在接下来的讨论中，我们分两种情况：Kb≥Ne和Kb＜Ne。

A.当Kb≥Ne时

此时，等式rank{GbVb}＝Ne成立。分别作SVD分解，

那么，矩阵GaVaTa1和GbVbTb1是不可逆的。

根据式（F-1）可知，span（GaVaTa1）＝span（GbVbTb1）成立。因此，总能找到这样的不可逆矩阵A，使得GaVaTa1A＝GbVbTb1。(www.xing528.com)

（1）如果Kb≥Ka，令V*a＝Va[Ta1ATa00Ka×（Kb－Ka）]，V*b＝Vb[Tb1Tb0]；

（2）如果Kb＜Ka，令V*b＝Vb[Tb1Tb00Kb×（Ka－Kb）]，V*a＝Va[Ta1ATa0]。

可以验证，无论是Kb≥Ka的情况还是Kb＜Ka的情况，GaV*a＝GbVb均成立。此外，矩阵[Ta1ATa0]和[Tb1Tbo]都是不可逆矩阵，因此das（V*a，Vb）＝das（Va，Vb）及dbs（V*a，Vb）＝dbs（Va，Vb）成立。

B.当Kb＜Ne时

此时，GaVa和GbVb都是列满秩的。分别令Pv和Pw为GaVa和GbVb的投影矩阵，即，

Pv＝GaVa（GaVa）HGaVa）－1（GaVa）H

Pw＝GbVb（GbVb）HGbVb）－1（GbVb）H

令V*a＝VaB，其中，B＝（（GsVa）HGaVa）－1（GaVa）H；令V*b＝Vb＝VbC，其中，C＝（（CbVb）HGbVb）－1（GbVb）H。根据式（F-1）可知，Pv＝Pw成立。因此，GaVaB＝GbVbC。又，由于B和C均是行满秩的，因此das（V*s，Vb）及dbs（V*a，Vb）＝dbs（Va，Vb）成立。